第1个回答 2020-10-04
拉格朗日方程
拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
导引
在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：
设定函数和：
其中，是自变数（independentvariable）。
若使泛函取得局部平稳值，则在区间内，欧拉-拉格朗日方程成立：
。
现在，执行下述转换：
设定独立变数为时间、
设定函数为广义坐标、
设定泛函为拉格朗日量，
则可得到拉格朗日方程
。
为了满足这转换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。
拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。
半完整系统
主项目：参阅半完整系统
一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为
；
则称此系统为半完整系统。
半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子：
；
其中，是未知函数。
由于这个广义坐标中，有个相依的广义坐标，泛函不能直接被转换为拉格朗日量；必须加入拉格朗日乘子，将泛函转换为。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：