定理证明的历史
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家 J.P. 塞尔 曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。 他在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。 复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下：
设f(z)为n次实系数多项式，记z=x+yi(x、y∈R)，考虑方根：?
f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?
即u(x、y)=0与v(x、y)=0?
这里u(x、y)=0 与v(x、y)=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点z0=a+bi，从而得出u(a、b)=v(a、b)=0，即f(a+bi)=0，因此z0便是方程f(z)=0的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。
高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。
在复变函数论中的证明方法
在复变函数论中， 有相当优美的传统证明方法。
设f(z)是n次多项式。 如果f(z)=0没有根， 那么g(z)=1/f(z)是复平面上全纯函数。由于f(z)是多项式，所以可证g(z)是有界的。 由刘维尔定理，一个复平面上的全纯有界函数必为常数。 从而g是常值函数，亦即f是常值函数， 矛盾！故得证代数基本定理。
此定理也可以用关于留数公式的儒歇定理来证。 但本质上都是拓扑的。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/466729.html?wtp=tt
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