第1个回答 2019-05-11
求函数z=f(x,y)=(e^2x)(x+y²+2y)的极值；
解：令∂z/∂x=2(e^2x)(x+y²+2y)+(e^2x)=(2x+2y²+4y+1)e^(2x)=0
得 2x+2y²+4y+1=0........①
再令∂z/∂y=(e^2x)(2y+2)=0，得y=-1..........②
将y=-1代入①式得x=1/2；即有驻点M(1/2，-1)；
再求驻点M(1/2，-1)处的二阶导数：
A=∂²z/∂x²=2(e^2x)(2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2(2x+2y²+4y+2)e^(2x)=2e>0;
B=∂²z/∂x∂y=(e^2x)(4y+4)=e(-4+4)=0
C=∂²z/²y²=2e^(2x)=2e；
∴B²-AC=0-4e²=-4e²<0，且A>0，故M(1/2，-1)是极小点。z的极小值=f(1/2，-1)
=e[(1/2)+1-2]=-e/2；
解：令∂z/∂x=2(e^2x)(x+y²+2y)+(e^2x)=(2x+2y²+4y+1)e^(2x)=0
得 2x+2y²+4y+1=0........①
再令∂z/∂y=(e^2x)(2y+2)=0，得y=-1..........②
将y=-1代入①式得x=1/2；即有驻点M(1/2，-1)；
再求驻点M(1/2，-1)处的二阶导数：
A=∂²z/∂x²=2(e^2x)(2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2(2x+2y²+4y+2)e^(2x)=2e>0;
B=∂²z/∂x∂y=(e^2x)(4y+4)=e(-4+4)=0
C=∂²z/²y²=2e^(2x)=2e；
∴B²-AC=0-4e²=-4e²<0，且A>0，故M(1/2，-1)是极小点。z的极小值=f(1/2，-1)
=e[(1/2)+1-2]=-e/2；
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