微分方程怎么求通解，特解？

Question

如题所述

Answer 1

1º求齐次通解
∵微分方程y''-3y'+2y=xex
对应的齐次微分方程： y''-3y'+2y=0
特征方程：t2-3t+2=0

解得t1=1，t2=2
∴齐次通解y＝C1ex+C2e2x
2º求非齐特解
设y''-3y'+2y=xex对应的非齐特解：
y。=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex
则 y。'=[ax2+（2a+b）x+b]ex
y。''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex
代入原方程y''-3y'+2y=xex可得：
[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x
整理得-2ax+2a-b=x
则−2a＝1，2a-b＝0
解得a＝−1/2，b＝-1
∴非齐次微分方程的特解：
y。＝(−1/2x2-x)ex
3º通解
∴微分方程y''-3y'+2y=xex的通解：
y+y。＝C1·ex+C2·e2x-（1/2x2＋x）·ex