24.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-1，则0=a(0-1)2-1
∴a=1. …………………………………………………… (2分)
∴y=（x-1）2-1 即y=x2-2x. …………………………（3分）
（2）当y=0时，x2-2x=0 解得x=0 或 x=2.
∴A（2,0）…………………………………………………（4分）
又B(1,-1),O(0,0),
∴OB2=2, AB2=2, OA2=4.
∴OB2 + AB2 = OA2
∴∠OBA = 900 ,且OB=BA.
∴△OBA为等腰直角三角
形. ………（6分）
（3）如图，过C作CE∥BO,CF∥AB,分
别交抛物线于点E、F，过点F作
FD⊥X轴于D，则∠ECF=900,EC=CF,FD=CD.
∴△ECF为等腰直角三角形. ……………………………（7分）
令FD=m＞0，则CD=m, OD=1+m
∴ F(1+m，m)………………………………………………（8分）
∴ m =（1+m）2-2（1+m），
即 m2-m-1=0. 解得 m=
∵m＞0， ∴m= .
∴F( ).
∵点E、F关于直线x=1对称，
∴E=( ). …………………………………（10分）