这几题线代题怎么做，求过程

Question

如题所述

Answer 1

1、【证明】
向量组T1为α1+α2，α2+α3，α3+α1，向量组T2为α1，α2，α3
显然向量组T1可由T2线性表示，则r1≤r2
①若T1线性无关，则r1=3，那么r2≥3，又因为r2≤3，即r2=3，T2线性无关
②若T2线性无关，（α1+α2，α2+α3，α3+α1）=(α1，α2，α3)C，显然|C|≠0，则T1线性无关
（其实本题直接利用②一步就可以了。 若α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可由αi线性表示，
设（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C ，那么β1，β2，β3线性无关的【充分必要条件】是|C|≠0）

2、【证明】
设α1，α2，...，αr的极大线性无关组为 α1，α2，...，αk（k≤r）
β可由α1，α2，...，αr线性表示，那么一定可由α1，α2，...，αk线性表示，即向量组（β，α1，α2，...，αr）的极大线性无关组也为 α1，α2，...，αk（k≤r）
所以向量组（β，α1，α2，...，αr）就可由向量组（α1，α2，...，αr）线性表出
向量组（α1，α2，...，αr）也可由向量组（β，α1，α2，...，αr）线性表出
向量组（β，α1，α2，...，αr）与向量组（α1，α2，...，αr）等价

3、【解答】
（lα2-α1，mα3-α2，α1-α3）=（α1，α2，α3）C ，显然|C|≠0时，向量组（lα2-α1，mα3-α2，α1-α3）线性无关。
即 lm≠1时，向量组线性无关。

newmanhero 2015年4月17日20:22:33

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Answer 2

1、【证明】
向量组T1为α1+α2，α2+α3，α3+α1，向量组T2为α1，α2，α3
显然向量组T1可由T2线性表示，则r1≤r2
①若T1线性无关，则r1=3，那么r2≥3，又因为r2≤3，即r2=3，T2线性无关
②若T2线性无关，（α1+α2，α2+α3，α3+α1）=(α1，α2，α3)C，显然|C|≠0，则T1线性无关
（其实本题直接利用②一步就可以了。 若α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可由αi线性表示，
设（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C ，那么β1，β2，β3线性无关的【充分必要条件】是|C|≠0）

2、【证明】
设α1，α2，...，αr的极大线性无关组为 α1，α2，...，αk（k≤r）
β可由α1，α2，...，αr线性表示，那么一定可由α1，α2，...，αk线性表示，即向量组（β，α1，α2，...，αr）的极大线性无关组也为 α1，α2，...，αk（k≤r）
所以向量组（β，α1，α2，...，αr）就可由向量组（α1，α2，...，αr）线性表出
向量组（α1，α2，...，αr）也可由向量组（β，α1，α2，...，αr）线性表出
向量组（β，α1，α2，...，αr）与向量组（α1，α2，...，αr）等价

3、【解答】
（lα2-α1，mα3-α2，α1-α3）=（α1，α2，α3）C ，显然|C|≠0时，向量组（lα2-α1，mα3-α2，α1-α3）线性无关。
即 lm≠1时，向量组线性无关。