第1个回答 2022-10-13
一般来说，一个均匀且各向同性的宇宙（正如我们所相信的那样）可以用一种叫做 FLRW 度量的东西来描述：
C2dτ2=Gμ νdXμdXν
在这种情况下等于：
C2dτ2=C2d吨2-一个（吨)2(dr21 - kr2+r2dθ2+r2没有2( θ ) dφ2)
在哪里
τ 是适当的时间
一个( t ) 是宇宙的比例因子。
到 是曲率常数
“度量”是我们如何定义空间中“距离”的概念。在欧几里得空间中，度量可以写成：
ds2= dX2+ d和2+ d和2
这当然是毕达哥拉斯！当我们说空间是“弯曲的”时，简单来说，我们的意思是度量显着偏离欧几里得空间。
现在——FLRW 指标基本上只是通过长时间认真思考问题的对称性而写下来的；我们对什么没有限制 一个( t ) 可能是。
这是我们感兴趣的东西，因为它描述了宇宙的整体规模。如果 一个( t ) 随着时间变大，宇宙正在膨胀——如果 一个( t ) 是一个常数，那么宇宙就是静态的，例如。
然而：我们知道要成为一个好的 GR 理论，FLRW 度量必须是爱因斯坦场方程的精确解：
Rμ ν−12Gμ νR +Gμ νΛ =8π _GC4吨μ ν
在哪里：
Rμ ν 是 Ricci 张量（度量的复杂函数）
Gμ ν 是指标
R 是 Ricci标量 R =Rμμ=Gμ νRμ ν
G 是牛顿引力常数
吨μ ν 是应力能量张量，是牛顿密度概念的延伸。
Λ 是一个称为“宇宙常数”的常数，描述了我们目前称为暗能量的东西
现在——我将在这里跳过一步，因为计算的数学 Rμ ν 很乏味。这并不难，您只需使用欧拉-拉格朗日方程 4 次并匹配项即可找到Christoffel 符号 Γλκ σ
一旦你有了 Christoffel 符号，你必须做一个 icky sun 来再次找到不消失的 Ricci 张量——这是一个乏味的计算，我将跳过。
我上周在一项工作中进行了这些计算——大约需要 8 张纸才能完成，所以你明白我为什么不在这里重复了！
毕竟这些垃圾，你发现只有 4 个组件（16 个） Rμ ν 非零：
R00=3一种¨一种
R11=−C−2（一个一种¨+2一种˙2) + 2千1 - kr2
R22=−r2(C−2（一个一种¨+2一种˙2))
R33=−r2(C−2（一个一种¨+2一种˙2))没有2θ
即使写出来也很痛苦！
我们在这里使用的符号是 一种˙=d一种d吨
正确地求和：
R = 6 (一种¨C2一种+(一种˙一个_)2+到一种2)
我们现在专注于[数学]00[/数学]爱因斯坦场方程的项：
[数学]R_{00} -\frac{1}{2} g_{00} R+ g_{00}\Lambda= \frac{8\pi G}{c^4} T_{00}[/math]
我们知道：
[数学] R_ {00} = 3 \ frac {\ ddot {a}} {a} [/数学]
[数学]g_{00} = 1[/数学]
[数学]T_{00} = \rho c^2[/数学]
[数学]\rho[/数学]是密度
因此，插入所有这些，我们得到第一个弗里德曼方程：
(一种˙一种)2+到C2一种2−ΛC23=8π _G3ρ
这是一个微分方程[数学]一个[/数学]，并表明除非满足一组非常具体的条件，否则宇宙的大小一定会发生变化！
为了举例，让我们考虑一个全球平坦的宇宙（[数学]k=0[/数学]），没有暗能量（[数学]\Lambda=0[/数学])[数学] [/数学]并且密度恒定。
在这种情况下，我们得到：
[数学]\left( \frac{\dot{a}}{a} \right) = \sqrt{\frac{8 \pi G}{3} \rho}[/math]
哪个有解决方案：
[数学]a (t) = A e^{\sqrt{\frac{8 \pi G}{3} \rho} t}[/math]
其中——因为平方根必须是正的——是一个指数膨胀的宇宙。
显然，一般来说它比这稍微复杂一些（还有另一个弗里德曼方程，涉及压力而不是密度），我们并不总是将所有这些参数设置为零，但你明白了要点。
实际上，膨胀的宇宙脱离这些方程的速度有多快是非常了不起的（一旦你浏览了所有那些可怕的数学......）
所以你去
将 FLRW 度量插入爱因斯坦场方程，即可得到弗里德曼方程；一组方程，根据与时间相关的比例因子来描述均匀、各向同性宇宙的演化 一种 .
我们看到，在简化的几何形状中，这自动需要一个指数膨胀的宇宙！
很酷，嗯？