第1个回答 2022-10-13
一般来说,一个均匀且各向同性的宇宙(正如我们所相信的那样)可以用一种叫做 FLRW 度量的东西来描述:
C2dτ2=Gμ νdXμdXν
在这种情况下等于:
C2dτ2=C2d吨2-一个(吨)2(dr21 - kr2+r2dθ2+r2没有2( θ ) dφ2)
在哪里
τ 是适当的时间
一个( t ) 是宇宙的比例因子。
到 是曲率常数
“度量”是我们如何定义空间中“距离”的概念。在欧几里得空间中,度量可以写成:
ds2= dX2+ d和2+ d和2
这当然是毕达哥拉斯!当我们说空间是“弯曲的”时,简单来说,我们的意思是度量显着偏离欧几里得空间。
现在——FLRW 指标基本上只是通过长时间认真思考问题的对称性而写下来的;我们对什么没有限制 一个( t ) 可能是。
这是我们感兴趣的东西,因为它描述了宇宙的整体规模。如果 一个( t ) 随着时间变大,宇宙正在膨胀——如果 一个( t ) 是一个常数,那么宇宙就是静态的,例如。
然而:我们知道要成为一个好的 GR 理论,FLRW 度量必须是爱因斯坦场方程的精确解:
Rμ ν−12Gμ νR +Gμ νΛ =8π _GC4吨μ ν
在哪里:
Rμ ν 是 Ricci 张量(度量的复杂函数)
Gμ ν 是指标
R 是 Ricci标量 R =Rμμ=Gμ νRμ ν
G 是牛顿引力常数
吨μ ν 是应力能量张量,是牛顿密度概念的延伸。
Λ 是一个称为“宇宙常数”的常数,描述了我们目前称为暗能量的东西
现在——我将在这里跳过一步,因为计算的数学 Rμ ν 很乏味。这并不难,您只需使用欧拉-拉格朗日方程 4 次并匹配项即可找到Christoffel 符号 Γλκ σ
一旦你有了 Christoffel 符号,你必须做一个 icky sun 来再次找到不消失的 Ricci 张量——这是一个乏味的计算,我将跳过。
我上周在一项工作中进行了这些计算——大约需要 8 张纸才能完成,所以你明白我为什么不在这里重复了!
毕竟这些垃圾,你发现只有 4 个组件(16 个) Rμ ν 非零:
R00=3一种¨一种
R11=−C−2(一个一种¨+2一种˙2) + 2千1 - kr2
R22=−r2(C−2(一个一种¨+2一种˙2))
R33=−r2(C−2(一个一种¨+2一种˙2))没有2θ
即使写出来也很痛苦!
我们在这里使用的符号是 一种˙=d一种d吨
正确地求和:
R = 6 (一种¨C2一种+(一种˙一个_)2+到一种2)
我们现在专注于[数学]00[/数学]爱因斯坦场方程的项:
[数学]R_{00} -\frac{1}{2} g_{00} R+ g_{00}\Lambda= \frac{8\pi G}{c^4} T_{00}[/math]
我们知道:
[数学] R_ {00} = 3 \ frac {\ ddot {a}} {a} [/数学]
[数学]g_{00} = 1[/数学]
[数学]T_{00} = \rho c^2[/数学]
[数学]\rho[/数学]是密度
因此,插入所有这些,我们得到第一个弗里德曼方程:
(一种˙一种)2+到C2一种2−ΛC23=8π _G3ρ
这是一个微分方程[数学]一个[/数学],并表明除非满足一组非常具体的条件,否则宇宙的大小一定会发生变化!
为了举例,让我们考虑一个全球平坦的宇宙([数学]k=0[/数学]),没有暗能量([数学]\Lambda=0[/数学])[数学] [/数学]并且密度恒定。
在这种情况下,我们得到:
[数学]\left( \frac{\dot{a}}{a} \right) = \sqrt{\frac{8 \pi G}{3} \rho}[/math]
哪个有解决方案:
[数学]a (t) = A e^{\sqrt{\frac{8 \pi G}{3} \rho} t}[/math]
其中——因为平方根必须是正的——是一个指数膨胀的宇宙。
显然,一般来说它比这稍微复杂一些(还有另一个弗里德曼方程,涉及压力而不是密度),我们并不总是将所有这些参数设置为零,但你明白了要点。
实际上,膨胀的宇宙脱离这些方程的速度有多快是非常了不起的(一旦你浏览了所有那些可怕的数学......)
所以你去
将 FLRW 度量插入爱因斯坦场方程,即可得到弗里德曼方程;一组方程,根据与时间相关的比例因子来描述均匀、各向同性宇宙的演化 一种 .
我们看到,在简化的几何形状中,这自动需要一个指数膨胀的宇宙!
很酷,嗯?