求分段函数积分

Question

如题所述

Answer 1

1、第一类换元法
∫1/(1+e^x)dx＝∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx＝-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))＝-ln(1+e^(-x))＋C＝-ln((1+e^x)/e^x)＋C＝x-ln(1+e^x)＋C
或
∫1/(1+e^x)dx＝∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx＝x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)＝x-ln(1+e^x)＋C
2、第二类换元法
令t＝e^x,则x＝lnt,dx＝dt/t
∫1/(1+e^x)dx＝∫1/(t(1+t))dt＝∫ (1/t-1/(t+1))dt＝ln|t| - ln|1+t|＋C＝x-ln(1+e^x)＋C
或者把1+e^x换作t也可以
0-1
-1
0到1ln(1+x)=ln2
总ln2-1本回答被提问者采纳

Answer 2

let

u=x-1

∫（0->2) f(x-1) dx

=∫(-1->1) f(u) du

=∫(-1->0) f(u) du +∫(0->1) f(u) du

=∫(-1->0)  du/(1+e^u) +∫(0->1)  du/(1+u)

t = e^u

=∫(e^(-1)->1)  dt/[t(1+t)] +[ ln|1+u| ]|(0->1)

=∫(e^(-1)->1)  [1/t-1/(1+t)] dt+ ln2

=[ln|t/(1+t)|]|(e^(-1)->1) + ln2

= ln(1/2) - ln[ (1/e)/(1+ 1/e) ] + ln2

=1 - ln|1+1/e|

=ln|1+e|