怎么证明这个函数项级数极限？

Question

如图，怎么证明

Answer 1

由于对于任意的x，级数∑an一致收敛，且对于任意的x∈(0，∞)，1/n^x单调且一致有界。数项级数的有阿贝尔判别法可以知道
对于任意的x∈(0，∞)，
∑an/n^x一致收敛。
故极限和求和可以交换，因此有
lim(x趋于0)∑an/n^x=∑an。追问

可题目中也没说an一致收敛啊

追答

因为与x无关(就是数列an里面没有x)，因此是一致收敛的。

Answer 2

先证指数函数在x趋向于0正时极限为1，故此时相当于无穷多的1分别与an乘，其结果还是an本回答被网友采纳

Answer 3

用b(n十1)/bn的极限，来判断。追问

不是应该判断一致收敛吗

这是一个连续问题，不满足连续的条件啊

追答

比值=[a(n十1)/an]/[(n十1)/n]^x
=[a(n十1)/an]/[(1十1/n)^n]^(x/n)
=》[a(n十1)/an]/e^(x/n)
=》0/1=0