求函数f(x)=x/(x²+1)的值域
解:令f'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²=-(x²-1)/(x²+1)²=-(x-1)(x+1)/(x²+1)²=0
得驻点 x₁=-1,x₂=1; 当x<-1时f'(x)<0;当-1<x<1时f'(x)>0,∴x₁=-1是极小点,
极小值f(x)=f(-1)=-1/2;
当x>1时f'(x)<0;故x₂=1是极大点,极大值f(x)=f(1)=1/2;
又x→∞limf(x)=x→∞lim[x/(x²+1)]=0;
∴该函数的值域是[-1/2,1/2];其图像如下: