作图如下:
为简化计算难度,将修路费用计费单位设置为“十万美元”。
则:老路升级费用为3(十万美元/英里),建新路费用为5(十万美元/英里)。
①、如果不利用老路,则,两点之间线段最短,最优方案为修建一条直连AB的新路,费用为:
5×150=750(十万美元)
②、如果利用某一段老路,则除了升级某段老路外,还需要分别修建两条新路AC、BD,连接两个村庄和老路。
因为A、B两村庄与老路距离相等,两者地位相同。可假设CE=DF=x,总费用为y,则:
AC=BD=根号(x²+50²)=根号(x²+2500)
CD=150-EC-DF=150-2x
因为x、y均为实数,则△=b²-4ac≥0
解得:y≤50或y≥850
y≤50明显不合题意,舍去。
所以y≥850(十万美元)。
综上可知,不利用老路最小费用为7500万美元,利用老路最小费用为8500万美元。
所以最优方案为:不利用老路,直接在A、B两村之间修一条直线新路,费用为7500万美元。