第1个回答 2019-02-11
已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？
（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.
所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
所以∠BEC=90°.
所以BE⊥AC（垂直定义）；
（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，
所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.
所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.
所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.
在△BFD与△ACD中，
所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.