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关于矩阵的秩的问题，A是M×N阶，B是n×s,AB=0,怎么推导出r（A）+r（B）小于等于n
如题所述
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第1个回答 2019-08-26
这个是利用了线性齐次方程的解空间性质定理推出来的
Ax=0的解空间的维数为n-r(A)
而AB=0时，B属于Ax=0的解空间，r(B)<= n-r(A)
r(A)+r(B)<=n
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设A为
M×N矩阵,B
为
N×S矩阵,
若
AB=
O,则
r(A)+r(B)
≦N
答：
AB =
A(β1，β2，...，βs）= (Aβ1，Aβ2，...，Aβs）= （
0，0，
...，0）于是 Aβj = 0 （j=1,2,...,s），即 B的列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解。由于方程组Ax=0解向量的秩为 n-
r（A），
所以
r（B）
= r (β1，β2，...，βs）≤ n-r（A）从而...
...A为mx
n阶矩阵,B
为nx
s阶矩阵,AB=0,
求证
r(A)+r(B
答：
其解空间的维数为n-r(A)B中的列向量都是Ax=0的解 ∴r(B)<=n-r(A)即
r(A)+r(B)
<=n
...
B是
俩
n阶
方阵,当有
AB=0
时,为什么有
r(A)+r(B)
≤
n,
懂者进
答：
设B=(b1,b2,…
,bn
)由
AB=0
得Abi
=0,
i=1,2,…,n 故方程Ax=0有解b1,b2,…,bn 另一方面，Ax=0的线性无关解个数为 n-r(A)故r(B)=r(b1,b2,…,bn)≤n-r(A)即
r(A)+r(B)
≤n
设A
,B
为
n阶
方阵,且
AB=0,
证明:
R(A)+R(B)小于等于n
答：
所以R(B) <= n-R(A)，故R(A)+R(B)小于等于n
。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
...已知
AB=0,A
≠0,那麽为什么
r(A)+r(B)
≦
n
呢?
答：
首先
，AB=0
根据线性方程组理论，B为A的解向量。如B为A的基础解向量，则 r(B)=n-r(A)如果B不是其基础解向量，说明B中的列向量不是线性无关的，则 r(B)<n-r(A)综合可得：
r(A)+r(B)
≤n
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