采用勒让德多项式的微分形式。
举例说明：Pn(x)=d(x^2-1)^n/dx^n
函数 f=（x^2-1）^n ， f 的k阶导表示为 fk。
只要k<n，fk的表达式里一定有因子（x^2-1）。 所以±1是f 的任意k次导数的零点（k<n），当然了，也是f的零点。
函数的两个零点间的某个数会使它的导数=0，如果原来有三个零点，它的导数就有两个零点，导数的导数就有一个零点。
由于 f 有x=±1这两个零点，所以 f1在（-1,1）至少有一个零点，假设说f1在（-1,1）有一个零点吧，在加上x=±1这两个，就有三个了，所以f2按罗尔定理就有两个零点，但是x=±1仍是它的零点，所以它有4个零点，以此类推。
导数每多一次，零点数就至少多一个，这在k<n都是成立的，所以fn也就是n次勒让德多项式 在（-1,1）就至少有n个零点，又因为n次多项式最多只有n个零点，所以它就要n个零点。
扩展资料：
描述矩形表面和口径的另外一组多项式集合，它的优点是具有正交性。由于存在正交性条件，高阶项系数趋于零，并且增加和删除一个项对其他项没有影响。不过，这个多项式集合通常不在光学设计软件中使用。
由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。
不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。
多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。
参考资料来源：百度百科——勒让德多项式