第1个回答 2022-10-19
本题 椭圆E：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a>b>0)
c = √3b, a^2 = b^2+c^2 = 4b^2, a = 2b
椭圆E：x^2 + 4y^2 = 4b^2. （1）
设直线 L 与椭圆 E 有且仅有的一个公共点 P(2bcost, bsint),
则 P 为椭圆 E 的切点， 切线为 L。
式（1）两边对 x 求导， 得 2x + 8yy' = 0， y' = -x/(4y)
点 P 处切线 L 斜率 k = -2bcost/(4bsint) = -1/(2tant)
点 P 处切线 L 倾斜角 θ, tanθ = -1/(2tant),
cosθ = -1/√[1+4(tant)^2], sinθ = 2tant/√[1+4(tant)^2]
过点 P 切线方程 L ： y = [-1/(2tant)](x-2bcost) + bsint
在直线 L 上， 距离点 P 为 b 的点有两个：
T1(2bcost-b/√[1+4(tant)^2], bsint+2btant/√[1+4(tant)^2])
T2(2bcost+b/√[1+4(tant)^2], bsint-2btant/√[1+4(tant)^2]).
T1, T2 是直线 L 与 圆心在原点的圆 O 的切点， 则 OT1 ⊥ L， OT2 ⊥ L，
半径 OT1 斜率 k1 = {sint+2tant/√[1+4(tant)^2]}/{(2cost-1/√[1+4(tant)^2]},
半径 OT2 斜率 k2 = {sint-2tant/√[1+4(tant)^2]}/{(2cost+1/√[1+4(tant)^2]},
k · k1 = -1,
[-1/(2tant)] · {sint+2tant/√[1+4(tant)^2]}/{(2cost-1/√[1+4(tant)^2]} = -1,
sint+2tant/√[1+4(tant)^2] = (2tant){(2cost-1/√[1+4(tant)^2]},
sint+2tant/√[1+4(tant)^2] = 4sint-2tant/√[1+4(tant)^2]}
4tant/√[1+4(tant)^2] = 3sint, 4tant = 3sint√[1+4(tant)^2]
16(tant)^2 = 9(sint)^2[1+4(tant)^2]
记 u = tant， 则 (sint)^2 = u^2/(1+u^2), 上式变为
16u^2 = 9u^2(1+4u^2)/(1+u^2) , 16(1+u^2) = 9(1+4u^2)
20u^2 = 7, u = ±√(7/20) = ±(1/10)√35
k = [-1/(2tant)] = ∓√35/7.
k · k2 = -1,
[-1/(2tant)] · {sint-2tant/√[1+4(tant)^2]}/{(2cost+1/√[1+4(tant)^2]} = -1,
sint-2tant/√[1+4(tant)^2] = (2tant){(2cost+1/√[1+4(tant)^2]},
sint-2tant/√[1+4(tant)^2] = 4sint+2tant/√[1+4(tant)^2]}
-4tant/√[1+4(tant)^2] = 3sint, -4tant = 3sint√[1+4(tant)^2]
与 k1 情况解相同。
故得直线 L 斜率 k = ±√35/7.
第2个回答 2022-10-19
椭圆E：x^2/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)①的一个焦点与短轴的两个端点恰为一个等边三角形的三个顶点,
所以a=2b,
设直线l:y=kx+m,②与圆心为原点的圆O相切于第一象限中的点T(x1,y1),x1，y1>0
且k=-x1/(kx1+m),③
直线l与椭圆E有且仅有一个公共点P(x2,y2),且 |TP|=b,
把②代入①*4b^2,得x^2+4(kx+m)^2=4b^2,
整理得(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4b^2=0,
△/16=4k^2m^2-(1+4k^2)(m^2-b^2)
=-m^2+b^2+4b^2k^2=0,
k^2=(b^2-m^2)/(4b^2),④
x2=-4km/(1+4k^2),⑤
|TP|=|x1-x2|√(1+k^2)=b。⑥
③-⑥中有5个未知数：k,x1,x2,m.b.为不定方程组。无法求k.本回答被网友采纳