椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，|AB|=2√2,C是AB的中点,

Question

椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，|AB|=2√2,C是AB的中点,O为坐标原点，OC的斜率为（√2）/2，求椭圆方程、、、要详细步骤、、

Answer 1

椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于a、b两点，c是ab的中点,|ab|=2√2,o为坐标原点，oc的斜率为（√2）/2
直线oc:y=x√2/2
直线ab:x+y-1=0
上式联解得到c点坐标
x+(√2/2)x-1=0
xc=2/(2+√2),yc=√2/(2+√2)
c[2/(2+√2),√2/(2+√2)]
xa+xb=2xc=4/(2+√2),ya+yb=2yc=2√2/(2+√2)
由直线x+y-1=0
得y=1-x，带入椭圆方程
ax²+by²=1
ax²+b(1-x)²=1
(a+b)x²-2bx+b-1=0
xa+xb=2b/(a+b)=4/(2+√2),b=(√2)a
xa*xb=(b-1)/(a+b)=(√2a-1)/(a+√2a)
(xa+xb)²=8/(3+2√2)
(xa-xb)²=(ya-ybv)²=(xa+xb)²-4xa×xb=8/(3+2√2)-4(√2a-1)/(a+√2a)
(xa-xb)²+(ya-yb)²=ab²
2[8/(3+2√2)-4(√2a-1)/(a+√2a)]=(2√2)²=8
2/(3+2√2)-(√2a-1)/(a+√2a)=1
2/(3+2√2)-1=(√2a-1)/(a+√2a)
(-1-2√2)/(3+2√2)=(√2a-1)/(a+√2a)
a=1/3
b=(√2)a=√2/3
椭圆方程为x²/3+√2y²/3=1