角平分线的性质与判定

Question

如题所述

Answer 1

角平分线的性质与判定如下：

性质：角平分线可以得到两个相等的角；角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。内心到三角形三边的距离相等；三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

角平分线定义

1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫作这个角的角平分线。

2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，联结这个角的顶点和与对边交点的线段叫作三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

作法

方法一：

1、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。

2、分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3、作射线OP。

射线OP即为所求。

证明：连接PM，PN

在△POM和△PON中

∵OM＝ON，PM＝PN，PO＝PO

∴△POM≌△PON（SSS）

∴∠POM＝∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线

当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二：

1、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM＝ON，OC＝OD；

2、连接CN与DM，相交于P；

3、作射线OP。

射线OP即为所求。