【高中竞赛】因式分解（代数数论？单位根？）

Question

设素数p=1(mod 4)
证明多项式((px^2)^p-1)/(px^2-1)可以分解为两个次数不小于一的整系数多项式的积
请认真回答
怎么大家都不太靠谱呢？

Answer 1

应该会有更初等的解法吧，不过既然你提到了数论，那我就用数论的方法做了一个答案。基本上是初等的，就是有一处用了点别的东西。点击看大图

参考资料：《代数数论》，冯克勤

Answer 2

令px^2=m；

((px^2)^p-1)/(px^2-1)=(m^p-1)/(m-1)=m^(p-1)+m^(p-2)+m^(p-3)+…1

由p=1(mod 4)显然p大于等于5
令p=4q+1

原式=m^(4q)+m^(4q-1)+m^(4q-2)+…1
=（m^4+m^3+m^2+m)*m^(4q-4）+（m^4+m^3+m^2+m)*m^(4q-8）+…+（m^4+m^3+m^2+m)*m^(4q-4q）
=（m^4+m^3+m^2+m)*（m^(4q-4）+m^(4q-8）+…+1）
显然（m^4+m^3+m^2+m)与（m^(4q-4）+m^(4q-8）+…+1）均为次数不小于一的整系数多项式
证毕

(m^p-1)/(m-1)如不可约，那你为什么要因式分解呢

Answer 3

(px^2)^p-1=0的根为 p^(-1/2)exp(kπi/p) k=1,2,…2p.
x^(2p)-1=0的根为 exp(kπi/p) k=1,2,…2p.
则两个方程任意m个对应根（差p^(-1/2)倍）形成的k次齐次对称多项式也只差
p^(-k/2)倍。

(x^(2p)-1)/(x^2-1)=[(x^p-1)/(x-1)][(x^p+1)/(x+1)]
p是奇数，所以(x^p+1)/(x+1)和(x^p-1)/(x-1)都为整系数多项式

(x^p-1)/(x-1)=x^
错了

Answer 4

我的感觉是这样做，你可以试试看：
多项式((px^2)^p-1)/(px^2-1)的根恰好平均地分布在四个象限内，用y轴将其分为两组，就是所求的两个因子(当然要乘上系数p^[(p-1)/2])。
然后就需要利用共轭性以及Vieta定理来验证奇数次项的系数是整数，这一步我没仔细想，可能还需要点小技巧。

Answer 5

将p=1(mod 4)写成 p=4y+1（y为自然数）
因为p=5，9，13 …
原式[(px^2)^p-1]/(px^2-1)
=[(px^2)^p-1](px^2+1)/(px^2-1)(px^2+1)
=[(px^2)^p-1](px^2+1)/(p^2x^4-1)
=[(px^2)^p-1](px^2+1)(p^2x^4+1)/(p^4x^8-1)
=[(px^2)^p-1]{(px^2+1)(p^2x^4+1)…(p^(2y)x^(4y)+1)}/(p^(4y)x^(8y)-1)
=[(px^2)^p-1]/(p^(4y)x^(8y)-1)*{……}
=[(px^2)^p-1]/(px^2)^4y)-1)*{……}
将p=4y+1代入
=[((4y+1)x^2)^(4y+1)-1]/{[(4y+1)x^2]^4y-1}*{……}
不可约