函数展开成关于x的幂级数

Question

f（x）=x/√（1+x^2）

Answer 1

先求g(x)=1/√(1+x)的展开：
g'(x)=-1/2 (1+x)^(-3/2), g'(0)=-1/2
g"(x)=-1/2*(-3/2) (1+x)^(-5/2), g"(0)=3/4
g"'(x)=-1/2*(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2), g"'(0)=-15/8
...
g^n(x)=(-1)^n (2n-1)!!/2^n (1+x)^(-n-1/2),g^n(0)=(-1)^n(2n-1)!!/2^n
g(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x^2/2!+f"'(0)x^3/3!+...
=1-(1/2)x+(3/4)x^2/2!-(15/8)x^3/3!+...
=1-(1/2)x+(3/8)x^2-(5/16)x^3+.., 收敛域|x|<1
所以f(x)=xg(x^2)=x-(1/2)x^3+(3/8)x^5-(5/16)x^7+....+.., 收敛域|x|<1