axb设随机变量X的概率密度为f(x)=1/(b-a) ,求X的数学期望E(X)和方其它差D(X)

Question

如题所述

Answer 1

根据随机变量x的概率密度函数f(x)，我们可以计算其数学期望和方差。
首先计算数学期望E(x)：
E(x) = ∫(a到b) x * f(x) dx
= ∫(a到b) x * (1/(b-a)) dx
= 1/(b-a) * ∫(a到b) x dx
= 1/(b-a) * x^2/2
= 1/(b-a) * [(b^2-a^2)/2]
= (b+a)/2
接下来计算方差Var(x)：
Var(x) = ∫(a到b) (x - E(x))^2 * f(x) dx
= ∫(a到b) (x - (b+a)/2)^2 * (1/(b-a)) dx
= (1/(b-a)) * ∫(a到b) (x^2 - 2x*(b+a)/2 + (b+a)^2/4) dx
= (1/(b-a)) * ∫(a到b) (x^2 - (b+a)x + (b+a)^2/4) dx
= (1/(b-a)) * x^3/3 - (b+a)x^2/2 + (b+a)^2x/4
= (1/(b-a)) * [(b^3-a^3)/3 - (b+a)(b^2-a^2)/2 + (b+a)^2(b-a)/4]
= ((b-a)^2)/12
因此，随机变量x的数学期望E(x)为 (b+a)/2，方差Var(x)为 ((b-a)^2)/12本回答被网友采纳