圆(x-1)^2+y^2=1含于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内,问a,b取何值时,椭圆面积最小

Question

如题所述

Answer 1

设点坐标，利用均值不等式求解。(该题是高数，超出高考要求)
设椭圆上任一点P(acosθ，bsinθ)(θ为0到90度即可)，圆心为E(1,0)的圆内切于椭圆，即求椭圆上任一点P到点E距离最小值为1。
两点距离公式求得PE^2=(a^2-b^2)cosθ^2-2acosθ+b^2+1=y，二次函数方法求得y最小值，由y最小值=1整理可得b^4-a^2b^2+a^2=0，利用三项均值不等式得ab最小值为2分之3倍根号3(当且仅当a=根号2倍b取等号)。
椭圆面积S=πab，所以S最小值为π*2分之3倍根号3。
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