第2个回答 2020-10-23
椭圆标准方程的求法举例
一、定义法
例1．已知圆，点是圆内一点，的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程。
解：连结，由，得，
而，因此，点的轨迹是以点为焦点的椭圆，
设为，，，
所以，，。因此，所求轨迹方程为。
评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a、b、c．
二、待定系数法
例2．已知椭圆的焦距离为且过点，求焦点在轴上时，它的标准方程．
解析：焦点在轴上，设所求方程为，
由题意得解之得因此，所求方程为．
评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．
三、轨迹法
例3．点到定点的距离与定直线的距离之比为，求动点的轨迹方程．
解析：设为动点到定直线的距离，根据题意动点的轨迹就是集合
，由此得．
将上式两边平方，并化简得，即为所求．
评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．
四、奇思妙解法
例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点求该椭圆的标准方程
分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解答繁琐，而且还要舍去不符合题意的．但若设为，则包含了焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种情况，是一个很好的选择．
解：设所求的椭圆方程为．
∵椭圆经过两点和，∴解得
故所求椭圆的标准方程为．
例5．求经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点为．若设所求方程为，则比较麻烦．但若设为与椭圆共焦点的椭圆系方程就简单得多．
解：设所求椭圆方程为．
∵椭圆过点，∴．解得（舍去）．
故所求椭圆的方程为．
评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。