第1个回答 2021-04-02
三元均值不等式
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均值不等式 姓名
一、均值不等式。
1、二元均值不等式
设,则: ,当且仅当时取等。
即:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
2、三元均值不等式
设,则: ,当且仅当时取等。
利用最原始的方法先证明:,()。
证明:
所以:
把“→ a ,→ b ,→ c”得即,当且仅当a = b = c时上式取”=”号.
*3、n元均值不等式
设,
调和平均数:
几何平均数:
算术平均数:
平方平均数:
则,当且仅当时取等。
二、利用三元均值不等式求最值
设,则: ,当且仅当时取等。
变形1:(1)(,)等号成立。
积为定值时,和有最小值(积定和最小)
变形2:(,)等号成立。
和为定值时,积有最大值(和定积最大)
注意:一正,二定,三相等
例1、 求函数的最小值。
:变式1:求函数的最小值。
例2、 求函数的最大值。
变式2:求函数的最大值。
变式3:求函数的最大值。
变式4:求函数的最大值。
例3、 已知,且,求的最大值。
:变式5:已知,且,求的最小值。
例4、 已知求的最小值。
:变式6:已知求的最小值。