2
2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示,途中 为黏性摩擦系数, 为弹簧系数,系统的输入量为力 ,系统的输出量为质量 的位移 。试列出系统的输入输出微分方程。
解:显然,系统的摩擦力为 ,弹簧力为 ,根据牛顿第二运动定律有
移项整理,得系统的微分方程为
2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。
解:由牛顿第二运动定律,不计重力时,得
整理得
2-3 求下列函数的拉氏变换。
(1)
(2)
(3)
解:(1)
(2)
(3)
2-4 求下列函数的拉氏反变换
(1)
(2)
(3)
解:(1)
(2)
(3)
2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程(设电容 上的电压为 ,电容 上的电压为 ,以此类推)。
图2-3 习题2-5 无源网络示意图
解:(a)设电容 上电压为 ,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
(b)设电容 、 上电压为 ,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
(c)设电阻 上电压为 ,两电容上电压为 ,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)代入(4)并整理得
(5)
(1)、(2)代入(3)并整理得
两端取微分,并将(5)代入,整理得输入输出关系的微分方程为
2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。
图2-4 习题2-6示意图
解:(a)由图得
(1)
(2)
(2)代入(1),整理得传递函数为
(b)由图得
(1)
(2)
整理得传递函数为
(c)由图得
(1)
(2)
(3)
(4)
整理得传递函数为
2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。
解:由图得
整理得
2-8 试简化图2-6中所示系统结构图,并求传递函数 和 。
解:(a)
⑴求传递函数 ,按下列步骤简化结构图:
① 令 ,利用反馈运算简化如图2-8a所示
②串联等效如图2-8b所示
③根据反馈运算可得传递函数
⑵求传递函数 ,按下列步骤简化结构图:
①令 ,重画系统结构图如图2-8c所示
② 将 输出端的端子前移,并将反馈运算合并如图2-8d所示
③ 和 串联合并,并将单位比较点前移如图2-8e所示
④串并联合并如图2-8f所示
⑤根据反馈和串联运算,得传递函数
(b)求传递函数 ,按下列步骤简化结构图:
①将 的引出端前移如图2-8g所示
②合并反馈、串联如图2-8h所示
③ 将 的引出端前移如图2-8i所示
④ 合并反馈及串联如图2-8j所示
⑤根据反馈运算得传递函数
2-9 试简化图2-7中所示系统结构图,并求传递函数 。
解:求传递函数 ,按下列步骤简化结构图:
① 将 的引出端前移如图2-9a所示
② 合并反馈及串联如图2-9b所示
③ 合并反馈、串联如图2-9c所示
④根据反馈运算,得传递函数
2-10 根据图2-6给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数 和 。
解:(a)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。
(1)令 ,求系统传递函数
由信号流图2-10a可见,从源节点 到阱节点 之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
, ,
与 互不接触
流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
(2)令 ,求系统传递函数
由信号流图2-10a可见,从源节点 到阱节点 之间,有两条前向通路,其增益为
,
有两个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
,
没有互不接触的回路,所以流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
,
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
(b)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。
求系统传递函数
由信号流图2-10b可见,从源节点 到阱节点 之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
, ,
与 互不接触
流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
2-11 根据图2-7给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数 。
解:根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示
由信号流图2-11a可见,从源节点 到阱节点 之间,有一条前向通路,其增益为
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
, ,
没有互不接触回路。因此,流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
3
3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述: ,其中 。试证明系统的动态性能指标为 , ,
解:
由系统的微分方程可得其传递函数 ,在单位阶跃输入作用下,由于 ,所以有
当 时,显然有
解之得
由于 为 从 上升到 这个过程所需要得时间,所以有
其中
由上式易解出
则 ,当 时,显然有
解之得
3-2 已知各系统得脉冲响应,试求系统的闭环传递函数:
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解:
(1)
(2)
(3)
3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 ,试求系统的超调量 ,峰值时间 和调节时间 。
解:
=
由上式可知,此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组,得
所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间
3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解题过程:
由题意可得系统得闭环传递函数为
其中 。这是一个比例-微分控制二阶系统。
比例-微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
故显然有
此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间
3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为 ,试确定系统的阻尼比 和自然频率 。
解:
系统的单位脉冲响应为
系统的闭环传递函数为
自然频率
阻尼比
3-6 已知系统特征方程为 ,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
解:
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下
显然,由于表中第一列元素得符号有两次改变,所以该系统在 右半平面有两个闭环极点。因此,该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然,特征方程的各项系数均为正,则
显然,此系统不稳定。
3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ,试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。
解:
由题得,特征方程是
列劳斯表
由题意,令 所在行为零得
由 行得
解之得 ,所以振荡角频率为
3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ,试确定系统稳定时的 值范围。
解:
由题可知系统的特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据可得
解上述方程组可得
3-9系统结构如图3-1所示, ,定义误差 ,
(1) 若希望图a中,系统所有的特征根位于 平面上 的左侧,且阻尼比为0.5,求满足条件的 的取值范围。
(2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3) 为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图b所示,试求出合适的 值。
解:(1)闭环传递函数为
即
,代入上式得,
列出劳斯表,
(2) ,系统为I型系统 ∴
(3)
并没有改变系统的稳定性。
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数:
(1) ;
(2)
试求输入分别为 和 时,系统的稳态误差。
解:
(1)
由上式可知,该系统是 型系统,且 。
型系统在 信号作用下的稳态误差分别为: 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ,该系统在输入为 时的稳态误差为
(2)
由上式可知,该系统是 型系统,且 。
型系统在 信号作用下的稳态误差分别为: 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ,该系统在输入为 时的稳态误差为
3-11已知闭环传递函数的一般形式为
误差定义为 。试证,
(1) 系统在阶跃信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(2)系统在斜坡信号输入下,稳态误差为零的充分条件为
(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解:(1)
满足终值定理的条件,
即证
(2)
满足终值定理的条件,
即证
(3) 对于加速度输入,稳态误差为零的必要条件为
同理可证
(4)系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。
3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为:
(1) ;
(2) ;
(3)
试求位置误差系数 ,速度误差系数 ,加速度误差系数 。
解:
(1) 此系统是一个 型系统,且 。故查表可得 , ,
(2) 根据误差系数的定义式可得
(3) 根据误差系数的定义式可得
3-13设单位反馈系统的开环传递函数
输入信号为
其中 , , , i, , 均为正数,a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差 < , 其中 , 试求系统各参数满足的条件。
解:首先系统必须是稳定的,系统的闭环特征方程为
式中, ,为系统的开环增益,各参数满足:
,
即稳定条件为
由于本例是I型系统,其 , ,故在 作用下,其稳态误差
必有
于是,即能保证系统稳定,又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为
3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为 。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为 时,系统的稳态误差。
解:
系统的误差传递函数为
所以有
对上式进行拉氏反变换可得
(1)
当 时,显然有
将上述三式代入(1)式,可得
系统的稳态误差为
3-15 假设可用传送函数 描述温度计的特性,现在用温度计测量盛在容器内的水温,需要一分钟时间才能指出实际水温的 的数值。如果给容器加热,使水温依 的速度线性变化,问温度计的稳态误差有多大?
解:
由题意,该一阶系统得调整时间 ,但 ,所以 。
系统输入为 ,可推得
因此可得
的稳态分量为
稳态误差为
所以,稳态误差为
3-16如图3-2所示的控制系统结构图,误差 在输入端定义,扰动输入 .
(1) 试求 时,系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。
(2) 若 , 其结果又如何?
(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 ,对其结果有何影响?
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 ,对其结果又有何影响?
解:令 , ,
则 代入
得
令 ,得扰动作用下的输出表达式:
此时的误差表达式为:
若在s 右半平面上解析,则有
在扰动输入下的稳态输出为
代入 的表达式,可得
(1) 当 时,
(2) 当 时,
可见,开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大,且稳态误差的绝对值也增大。
(3) 若 加在扰动之前,则
得
若 加在扰动之后,则
可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节,可以消除阶跃输入引起的稳态误差。
3-17 设随动系统的微分方程为:
其中, 为系统输出量, 为系统输入量, 为电动机机电时间常数, 为电动机电磁时间常数, 为系统开环增益。初始条件全部为零,试讨论:
(1) 、 与 之间关系对系统稳定性的影响
(2) 当 , , 时,可否忽略 的影响?在什么影响下 的影响可以忽略?
解:(1)对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换,得闭环系统特征方程
当 均为正值时,且有
即 时 闭环系统稳定。
(2)由于 ,因此只有当
闭环系统才稳定,显然,对于 , 闭环不稳定。此时若略去 ,
闭环特征方程为
上式中各项系数为正,从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果
。如果 ,则略去 不会影响闭环稳定性。
对于本例,当 时,不能忽略 对稳定性的影响,否则可以忽略。
5
5-1 设系统闭环稳定,闭环传递函数为 ,试根据频率特性的定义证明,输入为余弦函数 时,系统的稳态输出为
解:
由题目可得
对等式两边同时进行拉氏变换可得
由于系统闭环稳定,所以 不存在正实部的极点。假设 可表示为如下表达式
由以上分析可得,系统的闭环传递函数为
对上述闭环传递函数作如下分解
对上式等式两边进行拉氏反变换可得
由系统稳态输出的定义可得
利用留数法确定待定的系数
所以可得
5-2 若系统阶跃响应为:
试确定系统频率特性
解:
单位阶跃输入信号的拉氏变换为
系统单位阶跃响应的拉氏变换为
系统的闭环传递函数为
将 代入传递函数 可得
5-3 设系统结构图如图5-1所示,试确定输入信号
作用下,系统的稳态误差 。
解:
如图5-1所示,系统的误差传递函数为
其幅频特性和相频特性分别为
当 时
5-4已知系统开环传递函数
;
试分析并绘制 和 情况下的概略幅相曲线。
解:
由题可知,系统的频率特性如下
由于系统 ,所以开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧
当 时,
当 时,
又由于 ,所以有
当 时,开环幅相曲线始终处于第三象限,如图5-4a所示;
当 时,开环幅相曲线始终处于第二象限,如图5-4b所示。
5-5 已知系统开环传递函数
试分别绘制 时系统的概略开环幅相曲线。
解:
由题目可知,系统的频率特性如下
当 时,开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ,则
若 ,则
由以上分析可知,系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时,开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ,则
若 ,则
由以上分析可知,系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时,开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ,则
若 ,则
由以上分析可知,系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
当 时,开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。
若 ,则
若 ,则
由以上分析可知,系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。
5-6已知系统开环传递函数
试分别计算 和 时,开环频率特性的幅值 和相位 。
解:
系统的开环频率特性表达式如下
当 时
此时
当 时
此时
5-7 绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线
a.
b.
c.
d.
5-8 已知系统开环传递函数
试绘制 的对数频率特性曲线,并算出截止频率 。
解:由题可得
则
因此
对数频率特性曲线如图5-8a所示
又 ,可得 ,即
计算可得
5-9 已知系统开环传递函数为:
a.计算截止频率 。
b.确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。
c.绘制对数幅频特性曲线。
解:
计算可得
当 时,斜率为 ;
当 时,斜率为 ;
当 时,斜率为 ;
当 时,斜率为 ;
绘制对数幅频特性曲线,如图5-9a所示。
5-10 利用奈氏判据分别判断题5-4,5-5系统的闭环稳定性。
解:
(1) 对于题5-4的系统,分 和 的两种情况来讨论系统的闭环稳定性。
当 时,系统的开环幅相曲线如图5-4a所示,由图可知,系统的开环幅相曲线不包围 ,根据奈奎斯特判据可得
又由系统得开环传递函数可知
即 ,闭环系统在 右半平面无极点, 时闭环系统稳定。
当 时,系统的开环幅相曲线如图5-4b所示,由图可知,
又由系统得开环传递函数可知
即 ,闭环系统在 右半平面有2个极点, 时闭环系统不稳定。
(2) 对于题5-5的系统,其开环幅相曲线如图所示,由图5-5a可知
当 时, ,又由系统得开环传递函数可知
即 ,闭环系统在 右半平面无极点, 时闭环系统稳定。
当 时, ,又由系统得开环传递函数可知
即 ,闭环系统在 右半平面有2个极点, 时闭环系统不稳定。
5-11 用劳斯判断据验证题5-10的结果。
解:
(1)对于题5-4的系统,由题得闭环系统特征方程为
列劳斯表
则当 时, ,即第一列各值为正,即闭环系统稳定;
当 时, ,即第一列各值不全为正,即闭环系统不稳定。
(2)对于题5-5的系统,由题得闭环系统特征方程为
,即
当 时,列劳斯表
第一列各值为正,即闭环系统稳定;
当 时,列劳斯表
第一列各值不全为正,即闭环系统不稳定;
当 时,情况与 相同,即闭环系统不稳定。
5-12 已知三个系统的开环传递函数为
,
,
,
又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分别对应的奈奎斯特曲线,并判断单位反馈下闭环系统的稳定性
解:三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为
对 式, ,
则 ,故系统稳定;
对 式, ,
则 ,故系统稳定;
对 式, ,
则 ,故系统稳定;
5-13 已知系统开环传递函数
;
试根据奈氏判据,确定其闭环稳定条件:
a. 时, 值的范围;
b. 时, 值的范围;
c. , 值的范围。
解:
由系统的开环传递函数可知,系统的开环曲线图如图5-13a所示
由于 ,故想要闭环系统稳定,必有 ,即幅相曲线不包围点 。
系统的频率特性表达式如下
、 时,对于开环幅相曲线与实轴的交点有
由上式可得 ,则交点的实轴坐标为
由上式可得
、 时,对于开环幅相曲线与实轴的交点有
由上式可得 ,则交点的实轴坐标为
由上式可得
、对于开环幅相曲线与实轴的交点有
由上式可得 ,则交点的实轴坐标为
由上式可得
5-14 某系统的开环传递函数为
要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线,并判断闭环系统的稳定性:
a. ;
b. ;
c. ;
d. 。
解:
a. 当 时, ,
其开环幅相曲线如图5-14a所示, ,
则 ,故在 平面右半平面有2个闭环极点,闭环系统不稳定;
b.当 时,
若 ,则
若 ,则
其开环幅相曲线如图5-14b所示, ,
则 ,故系统不稳定;
c. 当 时,
若 ,则
若 ,则
其开环幅相曲线如图5-14c所示, ,
则 ,故系统不稳定;
d.当 时,
由 可得 ,
故可得其开环幅相曲线如图5-14d所示, ,
则 ,故系统稳定。
5-15 已知反馈控制系统的开环传递函数为
,
如果闭环系统不稳定,闭环传递函数会有几个极点在复数平面的右半平面?
解:
当 时,
当 时,
由于系统不稳定,故可得其开环幅相曲线如图5-15a所示
由图可得 ,
则 ,故闭环传递函数有2个极点在复数平面的右半平面。
5-16 设控制系统的结构图如图5-3所示。
a.求出开环传递函数;
b.画出对数相频特性曲线;
c.求出临界开环比例 和截止频率 ;
d.用奈氏判据判断该系统是否稳定,如果稳定再分别求出当输入信号 和 的情况下系统的静态误差。
解:
(a)系统开环传递函数为
(b)
,
,
(c)
,
,
系统开环频率特性为
与实轴的交点
故幅相曲线为
当 时,系统临界稳定,得
当 时, ,系统稳定
当 时, ,系统不稳定
当 时, ,
当 时,
5-17 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。
a.写出其开环传递函数;
b.画出其相频特性草图,并从图上求出和标明相角裕度和幅值裕度;
c.求出该系统达到临界稳定时的开环比例系数值 ;
d.在复数平面上画出其奈奎斯特曲线,并标明点 的位置。
解:
(1)确定系统积分或微分环节的个数。因对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为 ,由图,低频渐近斜率为 ,故 ,系统含有2个积分环节。
(2)确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线,其各转折点对应的频率为所含一阶或二阶环节的交接频率,每个交接频率处斜率的变化取决于环节的种类。
处,斜率变化 ,对应微分环节;
处,斜率变化 ,对应惯性环节;
处,斜率变化 ,对应惯性环节。
因此,所测系统具有下述传递函数
其中 待定。
(3)低频渐近线方程为
由给定点 ,得
故所测系统传递函数为
5-18设单位反馈控制系统的开环传递函数
试确定相角裕度为 时的参数值。
解:
系统的频率特性表达式为
设系统的截止频率为 ,则由相角裕度的定义可得
即
又由于
由上式得
所以
5-19 若高阶系统的时域指标为 , ,试根据经验公式确定系统的截止频率和相角裕度的范围。
解:根据经验公式,
根据题意有,
可求得
5-20 典型二阶系统的开环传递函数
若已知 ,试确定相角裕度 的范围;若给定 ,试确定系统带宽 的范围。
解:由于 且 ,
可解得
而根据题意
又有 ,且
故计算可得:
5-21 设二阶系统如图5-5(a)所示。若分别加入测速反馈校正, (图5-5(b))和比例-微分校正, (图5-5(c)),并设 , ,试确定各种情况下相角裕度 的范围,并加以比较。
解:(a)由题意可知系统开环频率特性
, ,
设 为截止频率,当 时,则有
和
把 代入上式,得:
,
(b)由题意可知系统开环传递函数为
其开环频率特性为
设 为截止频率,当 时,则有
和
把 ,设 ,代入上式,得:
,
(c)由题意可知系统开环传递函数为
,其中
其开环频率特性为
,
设 为截止频率,当 时,则有
和
把 ,设 ,代入上式,得:
,
5-22 已知单位反馈系统的开环幅相特性曲线如图5-6所示。当 时,系统幅值裕度 ,穿越频率 ,试求输入为 ,幅值裕度为下述值时,系统的稳态误差。
a.
b.
解:设系统开环传递函数为:
开环系统幅频特性为:
系统的开环频率特性为:
解得
当 有 ,
得
则系统开环传递函数可写成
系统与实轴的交点为
当 时, ,
当 时, ,
5-23 设单位反馈系统如图5-7所示。其中, ; 时,截止频率 ,若要求 不变,问 与 如何变化才能使系统相角裕度提高至 ?
解:开环系统幅频特性为:
相频特性为:
当 时,
,把 代入得:
若要求相角提高 ,即要求 提高 ,设调整后的系统相频特性为:
调整后的 值为: , 值不做调整。
5-24 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试绘制系统的对数频率特性曲线,并据此确定:
a.求 时的相角裕度;
b.求 时的幅值裕度;
(1)解: 开环系统幅频特性为:
令 ,当 时,得
开环系统相频特性为:
,当 时,有
(2) 解:开环系统的频率特性为:
令其虚部为零,即
得
5-25 若单位反馈系统的开环传递函数
试确定使系统稳定的 值。
解:
系统的频率特性表达式为
由上式可得,系统的幅频特性和相频特性分别为
系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ,此时
由上式可得,
显然,当 时,由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。
故 的取值范围为
5-26 设单位反馈系统的开环传递函数
试确定闭环系统稳定时,延迟时间 的范围。
解:
系统的频率特性表达式为
由上式可得,系统的幅频特性和相频特性分别为
系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ,此时
由幅频特性可得
解之可得 (舍去)
又 即
显然,当 时,由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。故 的取值范围为
参考资料:往届