正确的说法应该是in the next week，意思是在下周。
下面我们来大概看下两者的具体用法：
1、in the next week。
这是一个固定的说法，意思是在下周。例句：
The remaining points will probably be settled in the next week, he said.
其余的点很可能会定居在下周，他说。
See what happens in the next week, two weeks and take it from there.
我们要看看下个礼拜、下下个礼拜有什么措施。
2、on the next week。
我们通常不会有这个说法，但有时句子里会看到，是凑巧同时出现，on the next week不是一个固定的说法。例句：
This is sure to be an item on the agenda next week.这一定会成为下星期议事日程上的一项议题。
解析：如上面例句所示，on the next week同时出现在句子中。但请注意，on是搭配着单词agenda出现的，是on the agenda，即在日程上，而next week是单独的，表示下周。
例句：On the trip next week, I have made a meticulous plan.
关于下周末的出行，我已经做好了周密的计划。
解析：上面的例句中，on也是搭配着the trip出现的，所以说On the next week同时出现在句子中，可能是凑巧出现，但绝不是一个固定的说法。
扩展资料：
我们知道next week是下周，下星期的意思。in （the）next week是指在下周，在下星期的意思。
next week不仅可以单独使用，还可以搭配介词用。除了介词in以外，其实还可用来搭配介词at使用。at next week意思是下周。例句：
I can come out any time on Tuesday or Thursday at next week.
下周二或周四的任何时候我都可以出来。
His entire collection will come under the hammer at next week's sale.
他的全部收藏品将在下周的拍卖会上被拍卖
参考资料：百度翻译-next week