高等数学一道关于不定积分题,求高手解答啊 急~

Question

设F(x)为f(x)的原函数,且当时x>=0时,f(x)F(x)=xe^x/2(1+x)^2[x乘以e的x次方,比上2倍的1+x的2次方],已知F(0)=1,F(x)>0,试求f(x)
你好~~我刚学了不定积分的概念和换元法~

Answer 1

f(x)F(x)=(xe^x)/[2(1+x)^2]
两边在0到x上做积分：
∫{0积到x} f(x)F(x)dx = ∫{0积到x} (xe^x)/[2(1+x)^2]dx

左边=∫{0积到x} F(x)d[F(x)]
=(1/2)[F(x)^2 - F(0)^2]
=(1/2)[F(x)^2 - 1]

整理一下：
(1/2)[F(x)^2 - 1] = ∫{0积到x} (xe^x)/[2(1+x)^2]dx
由于F(x)>0,
解出F(x)=根号下 {2*∫{0积到x} (xe^x)/[2(1+x)^2]dx + 1}

f(x)=F'(x)
就是对右边那个很长的式子求导数
={(xe^x)/[2(1+x)^2]}/根号下 {2*∫{0积到x} (xe^x)/[2(1+x)^2]dx + 1}

式子很烦，但思路没问题，积分的那块应该可以积出来，我再想想，想到了补上。

Answer 2

犯了很多错误才做出来的 ,

唉！答案还是做错了！

Answer 3

解答如下：

Answer 4

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Answer 5

积分得
F^2=-∫xe^xd(1/(x+1))=-xe^x/(x+1)+∫(1/(x+1))dxe^x
=-xe^x/(x+1)+∫e^xdx
=e^x/(x+1)+C
F(0)=1,C=0
F(x)>0,F(x)=根号(e^x/(x+1))