第1个回答 2009-11-22
平行四边形的判定
教学目标
1．掌握平行四边形的判定定理及应用．
2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题．
3．会根据条件来画出平行四边形．
4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
教学重点和难点
重点是平行四边形的判定定理及应用；
难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
教学过程设计
一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法
1．复习平行四边形的主要性质，
角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补）
对角线：（d）对角线互相平分．（性质4）
2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？
（1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．
（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征：
①由两个独立条件和一个结论组成；
②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c）对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）；
③逆命题正确．
（3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想2）；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想3）．
（4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1，2，3．
教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想
进行证明．
注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法．
3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意
图和处理方法详见设计说明部分）
（1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a），（b），(c）和（d）中各选取一个条件组合作为判定方法的题设部分，如一组对边平行((a）对边的位置关系）与一组对边相等((b）对边的数量关系）．
（2）根据学生实际，让学生利用上述方法得出有关平行四边形判定方法的部分常用（或全部）猜想．（教师也可用判断题的形式让学生思考，从而降低难度）
猜想一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
猜想二：一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形．
猜想三：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
猜想四：一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．（其他猜想见设计说明中的补充内容）
（3）证明猜想成立或举例说明某猜想不成立．
以上猜想中正确的是猜想一和四，猜想二和三的反例图形分别见图
4-21（a），（b）．
如图4－21（a），在四边形ABCD中， AD //BC， AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形；在图4-21（b）中， AB＝AC＝DE，∠B=∠C＝∠D，但四边形 ABED不是平行四边形．
（4）将正确的命题中作用较大的猜想一作为判定定理4使用，其余的命题让学生熟悉结论和研究方法．
（5）总结。平行四边形共有五种判定方法，根据题目条件从中灵活选用方法来解决问题．
二、判定定理的巩固练习
1．利用平行四边形的判定定理及性质定理进行证明．
例1已知：如图 4－22，E和F是ABCD对角钱AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：可使用五种判定方法来证明这个结论，其中“添加对角线构造使用判定定理3的条件”的证明方法最为简捷．
说明：引导学生从条件、结论两方面对题目进行再思考．
（1）在此基础上，还可证出什么结论？用到什么方法？如还可证BEDF,DEBF, ∠BED=∠BFD等.总结方法：利用平行四边形的性质——判定——性质可解决较复杂的几何题目.
（2）根据运动、类比、特殊化的思维方法，猜想对此题可作怎样的推广？
类比例1条件，利用运动变化的观点，让E和F在对角线AC上运动到一些特殊位置，猜想还可得出同样结论如图4-23，但其中的猜想无法证明．
缺图4-23
猜想一如图 4-23（a），在ABCD中， E，F为AC上两点，∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
猜想二如图4－23（b），在ABCD中，E，F为AC上两点，BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
猜想三如图 4-23（c），在ABCD中， E，F为AC上两点， BE＝DF．求证：四边形 BEDF为平行四边形．
猜想四如图4－23（d），在ABCD中，E,F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF为平行四边形
例2已知：如图 4－24（a），在ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．求证：EB=DF．
说明：
（1）分析证明思路，所要证明的两条线段恰为四边形EBFD的一组对边，由图中它们所在的位置来看，可首先判定四边形BEDF为平行四边形，再利用平行四边形的性质来解决．培养学生思维的层次：使用已知平行四边形的性质——判定新平行四边形——使用新平行四边形的性质得出结论．
（2）引导学生适当改变题目的条件、结论，对命题加以引伸和推广．
推广一（对结论引伸）已知：如图4-42（b），在ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
BE交AF于G，EC交DF于H．求证：
（1）四边形EGFH为平行四边形；
（2）四边形EGHD为平行四边形．
思考：怎样用运动、类比及特殊到一般的方法来改变命题的条件，将命题加以推广？
推广二已知：如图 4-24（c），在ABCD中，E， F为AD，BC上两点，AE＝CF．求证：EB＝DF．
推广三已知：如图 4-24（ d），在ABCD中， E， F为 AD，BC上两点，∠ABE＝∠ CDF．
求证：EB＝ DF．
推广四已知：如图4-24（e），在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，BE和DF分
别平分∠ABC和∠ADC．求证:EB＝ DF．
推广五已知：如图4-24（f），在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，AE⊥BC于
E， CF⊥AD于F．求证：BE＝DF．
2．画出符合条件的平行四边形．
例 3画ABCD，使∠B＝45°， AB＝2cm， BC＝3cm．
分析：
（1）画平行四边形的关键是先由条件确定平行四边形中三个顶点所组成的三角形，例如，此题可根据“两邻边及一夹角”先确定△ABC．
（2）可根据平行四边形的五种判定方法来确定平行四边形的第四个顶点．但其中根据判定定理1作图较为复杂，一般不常用．
让学生画图，并写出画法．
练习课本第140页第1，2题，第142页第1，2，3题．
四、师生共同归纳小结
1．平行四边形的判定方法有哪些？应从边、角、对角线三方面来进行总结，并指出：性质定理的逆命题如果正确，常常作为判定定理来使用．
2．怎样来画符合条件的平行四边形？
3．学习了哪些研究问题的思想方法？
五、作业
课本第144页第7～14题，B组1，2，4题．
补充题：
1．如图 4-25，在ABCD中， AE＝CF， BG＝DH．求证： AH，BE，CG,DF围成的四边形
MNPQ为平行四边形．
2．如图4-26，在ABCD中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．
3．如图4－27，在ABCD中，AC，BD交于O点，AE⊥BD于E,CG⊥BD于G,BH⊥
AC于H，DF⊥AC于F．求证：四边形EFGH为平行四边形．
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成．
1．由平行四边形的定义及性质定理逆向探索它的判定方法，是以后经常用到的思考方
法．因此，教师应让学生明确建立这种意识，并尽量独立完成这个过程．
2．从分类的角度来看，用非同类条件判定平行四边形的猜想，还有以下几种，教师可根情况选用．
猜想五：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
猜想六：一组对边相等，对角线交点平分其中某一条对角线的四边形是平行四边形
．
猜想七：一组对角相等，连该对角的两顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平边形．
猜想八：一组对角相等，连该对角的两顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
其中猜想六，八是假命题，猜想五，七是真命题，可由学生课下加以证明，其中猜想七的证明需要用到圆的知识．
猜想六，八的反例图形分别是图428（a），（b）．
缺图4-28
如图 4－28（a），AE⊥l,CF⊥l,AE=CF,BE=DF,OE=OF,则四边形ABCD中，AB=DC，AO=OC，但四边形ABCD不是平行四边形。
如图4-28（b），菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，则四边形ABED中，∠ABE=∠ADE，BO=OD.但四边形ABCD不是平行四边形.
3．课本上的例1，例2的内涵很丰富，教师可根据时间的安排及学生的实际，逐步培养他们用类比、运动等思维方式推广命题的能力，以一题多变的方式让学生能用运动、联系的观点看待问题．
第2个回答 2009-11-22
《平行四边形》教学设计
教学内容：人教版六年制第八册数学教科书第142~143页。
教学目标：
1、通过观察、猜想、操作、验证，理解平行四边形的意义，掌握平行四边形的特征和特性。
2、认识平行四边形的底和高，会作平行四边形的高。
3、了解平行四边形与长、正方形的关系，从中受到辨证唯物主义的启蒙教育。
4、培养学生的数学应用意识，探究合作能力和空间观念。
教学重点：探究平行四边形的特征和特性。
教学具准备：多媒体课件，一副三角尺，可拉动的长方形框架一个，图形纸一份，学生作业纸各一份。
教学设想：
1、构建观察、猜想、操作、验证的教学模式
为了使学生能更好地了解和掌握平行四边形的特征和特性，本节课的教学设计力求为学生提供有挑战性的，有趣味性的学习材料，让学生能够充分地观察，并能引发出合理的猜想，通过自己动手操作去探究，去验证猜想，以便抓住事物的本质属性，发现事物间的内在联系，促进对概念的了解。概念教学用语言去解释语言是很难的，只有让学生利用已有的知识经验，亲身去实践、去体验，才能更加有效地去领会概念真正的内涵。
2、注重数学与生活的联系
数学来源于生活实际，又应用于现实生活，可谓生活中处处有数学。从学生的现实生活取材，会使学生产生亲切感，产生对数学学习的动机和欲望。平行四边形在实际生活中有着广泛的应用，因此本节课的设计注重从以下几个方面突出与生活实际的联系：一是在引人课题后，让学生体会平行四边形在生活实际中的存在；二是让学生指出平行四边形的特性在生活中的应用，让学生感受到数学的价值所在；三是通过实践活动，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
3、开放教学，让学生自主学习，自我构建
为了让学生更好地体会到数学知识生成和发展的过程。本节课采用开放式的教学形式，力求创设良好的学习情境，做到问题由学生发现、提出；策略由学生研究决定。让学生在自主探究的学习方式下，自我去建构知识，去把握平行四边形的意义和特征。学生只有通过亲身实践，才能在“做数学”中学习数学，体会数学的实际意义和价值。教学中利用折、量、画、拉等建构知识的“脚手架”去尝试探究数学知识的奥秘，对培养学生的数学头脑，提高学生的综合学力将产生积极的促进作用。
教学过程：
一、创设情境，合理猜想
1、多媒体出示情境图：
（图略）
师：同学们，请根据露出的部分猜猜它可能是什么图形？
让同学们充分猜想，并说明理由。
师：它可能是长方形、正方形吗？为什么？
2、揭示课题：平行四边形（板书）
二、自主学习，探究新知
1、联系实际，寻找生活中的平行四边形。
师：你见过生活中的平行四边形吗？
如：放大镜，遮阳伸缩架，歌谱架，单位门前的电动门，渔网，卷扎门，栅阑，花篮，拉花等等。
2、课件呈现平行四边形图案：
（图略）
3、了解学生已有的知识经验。
师：你们已经知道了平行四边形的哪些知识？
让学生充分发言。
师：你们还想了解平行四边形哪些方面的知识？
4、师生共同探究平行四边形的特征。
请同学们把自己的探究结果记录在作业纸上：
通过探究你的发现是
师：如何验证你们的发现？
同学们交流汇报：用量的方法判断平行四边形的对边相等，对角相等，用三角板平移的方法来判断平行四边形的对边平行。
5、揭示概念。
师生共同总结出：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（板书）
说明：因为平行四边形两组对边分别平行了则两组对边也就分别相等了，所以定义中只说到“平行”，而不必说“相等”了。
思考：如何判断一个图形是平行四边形呢？
（对边平行或对边相等）
6、了解平行四边形与长、正方形的关系。
思考：长、正方形的对边也平行，对边且相等，对角也相等，它们是平行四边形吗？
师：如何表示三者之间的关系呢？
师生共同得出结论：
平行四边形
长方形
正方形
7、了解平行四边形的特性。
师：我们已经知道了三角形具有稳定性，那么平行四边形又具有什么特性呢？
（1）拉动长方形框架，让学生观察变化的情况：变成了什么图形？什么没有变化？
（2）让形式了解：角度变化了（锐角，钝角），形状改变了，但对边仍平行，对边仍相等。
（3）总结：平行四边形容易变形，具有不稳定性（板书）。
（4）说说这一特性在生活中的应用？
思考：若让平行四边形也能稳定，又该怎么办呢？
下面四个图形你选择谁？
（图略）
8、作平行四边形的高。
（1）尝试作高的方法（上台演示）。
（2）了解底和高的对应关系，且相互垂直。
（3）在作业纸上任选一图练习作高。
（图略）
三、拓展延伸，深入思考
数数图中的平行四边形各有多少个？
（图略）
四、全课总结。
今天你学到了哪些知识？你还有没有不明白的地方？
板书设计：