4.1 齿轮的分类
4.1.1 平面齿轮机构
平面齿轮机构用于传递两平行轴之间运动和力。由于其常用齿轮为圆柱形，因此又称其为圆柱齿轮。根据轮齿排列方向的不同，其可分为直齿圆柱齿轮机构、平行轴斜齿圆柱齿轮机构和人字齿圆柱齿轮机构。
直齿圆柱齿轮机构，简称直齿轮，其轮齿与齿轮转动轴线平行。按应用情况，可以分为外啮合直齿圆柱齿轮，两轮转动方向相反；内啮合直齿圆柱齿轮，两轮转动方向相同；齿轮齿条机构，一齿轮演化成均匀排列着齿的板条，即齿条，齿条做直线往复运动。
平行轴斜齿圆柱齿轮机构，简称斜齿轮，其轮齿与齿轮转动轴线倾斜一个角度，按应用情况看，可分为外啮合斜齿轮、内啮合斜齿轮和斜齿轮齿条机构。
人字齿圆柱齿轮机构，齿形相当于两个全等、但齿向倾斜方向相反的斜齿轮拼接而成。
4.1.2 空间齿轮机构
空间齿轮机构用于传递两轴相交或交错之间运动和力。常见类型有圆锥齿轮机构、交错轴斜齿轮机构和蜗杆机构等。
圆锥齿轮机构，两齿轮轴线相交，其轮齿均匀排列在
圆锥体表面，有直齿、斜齿和曲线齿之分。
交错轴斜齿轮机构，由两个斜齿轮组成的两轮轴线成空间交错的齿轮机构。
蜗杆机构，两轴一般是垂直交错的。
4.2 齿轮啮合基本定律
齿轮机构是依靠主动轮的齿廓推动从动轮的齿廓来实现运动的传递。两轮的瞬时
角速度比为
传动比i，当不考虑传动方向时，传动比i的定义为i=ω₁/ω₂。
通常情况下，主动轮用“1”表示，从动轮用“2”表示。若齿廓曲线的形状不同，则两轮的瞬时传动比的变化规律也不同，即传动比可能是变化的，也可能是恒定的。如果是变化的，那主动齿轮等角速度转动时，从动齿轮的转动就是变角速度，这样在传动过程中会产生惯性，进而影响强度并引起振动等。
过两齿轮轮廓接触点所做的公法线与连心线的交点称为节点，即齿轮相对速度瞬心，记做C。则i=ω₁/ω₂=O₂C/O₁C。可以看出，传动比是否变化取决于C点是否变化。如果传动比恒定，节点C在齿轮上画过的节曲线是两个圆，称为节圆，这种齿轮称为圆形齿轮。如果传动比变化，C在齿轮上画过的节曲线是两个非圆曲线，这种齿轮称为非圆齿轮。
若要求一对齿轮按给定变化规律的传动来实现运动的传递，则两轮的齿廓曲线必须满足的条件是：在啮合转动的瞬时，两轮齿廓曲线在相应接触点的公法线必须通过按给定传动比确定的节点，这一条件成为齿轮啮合的基本定律。
满足齿轮啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称为共轭齿廓，常用的齿廓曲线有渐开线、
摆线和圆弧曲线等。
4.3 渐开线及渐开线齿廓
4.3.1 渐开线
渐开线的形成，当一条直线沿一固定圆做纯滚动时，该线上任意一点K在平面上的轨迹被称为这个圆的渐开线。这个圆称为基圆，直线称为发生线。
渐开线的性质：发生线上沿基圆上滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长；渐开线上任一点法线与基圆相切；渐开线上各点的
曲率半径不等；渐开线的形状取决于基圆的大小；基圆内无渐开线，渐开线是从基圆开始向外展开的，因此基圆内无渐开线。
渐开线方程：渐开线上任一点K的向径与起始点A之间的夹角称为渐开线AK段的展角，用θk表示。若以此渐开线作齿轮的齿廓，当两齿轮在K点啮合时，其正压力方向沿着点K的法线方向，而K点的速度方向与向径垂直，因此K点的压力角为αk，且：cos αk = 基圆半径 / 向径。可以看出渐开线上各点的压力角是不相等的，向径越大压力角越大。展角θk可以表示为：θk = ∠NOA - αk = tan αk -αk，即θk = inv αk = tan αk -αk。inv αk称为渐开线函数，跟上个公式合称为渐开线方程。
4.3.2 渐开线齿廓
渐开线齿廓啮合具有以下特点：
渐开线齿廓啮合的啮合线是直线，各瞬时两齿廓接触点在机架固定平面上的轨迹称为啮合线，显然啮合线是直线，且一对渐开线齿廓的啮合线、公法线和两基圆内公切线三线重合。
渐开线齿廓啮合的啮合角不变，两齿轮啮合的任一瞬时，过接触点的齿廓公法线与两轮节圆公切线之间所夹的锐角称为啮合角，显然渐开线齿廓的啮合角是不变的。齿轮传动中，两齿廓间正压力的方向是沿接触点公法线方向，该方向随啮合角的变化而变化。渐开线齿廓啮合角不变，所以齿廓间正压力的方向也始终不变。
渐开线齿廓啮合具有可分性，渐开线齿轮的传动比也可以表示为基圆半径的反比，因此当两轮中心距略有改变时，两齿轮传动比仍能维持不变，这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都十分有利。
4.4 渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数和标准齿轮的尺寸
4.4.1 齿轮各部分名称
齿轮上每一个用于啮合的凸起部分称为齿，每个齿都有两个对称分布的齿廓。
轮齿和齿槽，齿轮上的每一个用于啮合的凸起部分称为轮齿，在齿轮圆周上
均匀分布的轮齿总数称为齿数，用z表示，齿轮上相邻轮齿之间的空间，称为齿槽。
齿顶圆和齿根圆。通过齿轮所有轮齿顶部的圆，称为齿顶圆，其直径和半径分别用da和ra表示。通过齿轮所有齿槽底部的圆，称为齿根圆，其直径和半径分别用df和rf来表示。
齿厚、齿槽宽和齿距。在任意半径rk的圆周上，一个轮齿两侧齿廓之间的弧长，称为该圆上的齿厚，用sk表示。一个齿槽两侧齿廓之间的弧长，称为该圆上的齿槽宽，用ek表示。相邻两齿同侧齿廓间的弧长，称为该圆上的齿距，用pk表示。齿距等于齿厚与齿槽宽之和。
模数与标准模数。由齿距定义可知，Πdk = pk x z，则dk = (pk/Π)·z，令mk = pk/Π，则dk = mk · z。mk称为该圆上的模数，单位为mm。为了便于设计、制造和互换，规定了一个特定圆上的模数为标准模数，称为标准模数，用m表示。模数的大小直接反映出齿轮的大小。
标准压力角。渐开线齿廓上各点的压力角是不同的，为了便于设计和制造，将在特定圆上的压力角规定为标准值，称为标准压力角。我国规定为20°。
分度圆。在齿轮上人为取一特定圆，使这个圆上具有标准模数，并使该圆上的压力角也为标准值，此圆称为分度圆。分度圆位于齿顶圆和齿根圆之间
齿顶和齿根。介于分度圆和齿顶圆之间的部分称为齿顶，介于分度圆和齿根圆之间的部分称为齿根。
齿顶高、齿根高和齿高。齿顶的径向距离称为齿顶高，齿根的径向距离称为齿根高，齿顶圆和齿根圆之间的径向距离称为齿高。齿高是齿顶高与齿根高之和。
齿宽。齿轮的有齿部分沿齿轮轴线方向度量的宽度称为齿宽。
中心距。两个圆柱齿轮轴线之间的距离，称为中心距。
4.4.2 标准齿轮的基本参数
如果一个齿轮的模数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数均为标准值，并且分度圆上的齿厚与齿槽宽相等，则称该齿轮为标准齿轮。顶隙，指的是在一对齿轮的啮合传动中，一个齿轮的齿顶圆与另一个齿轮的齿根圆之间的径向距离。
4.4.3 标准齿轮的尺寸计算
标准直齿圆柱齿轮的所有尺寸均可用上述五个基本参数表示
4.4.4 齿条
当基圆半径趋向于无穷大时，渐开线齿廓变成直线齿廓，齿轮变成齿条，齿轮上的各圆都变成齿条上相应的线。齿条齿廓上各点压力角都相等，均为标准值，齿廓的倾斜角称为齿形角，其大小与压力角相等。
4.4.5 内齿轮
内齿轮的轮齿是内凹的，其齿厚和齿槽宽分别对应于外齿轮齿槽宽和齿厚。内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于分度圆。为了正确啮合，内齿轮的齿顶圆必须大于基圆。
4.5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
4.5.1 正确啮合条件
当前一对齿在啮合线上K点接触时，其后一对齿应在啮合线上另一点K'接触，这样才能正确不断接替传动。令K₁和K₁'表示轮1齿廓上的啮合点，K₂和K₂'表示轮2齿廓上的啮合点。轮1相邻两齿同侧齿廓间法线的距离应与轮2相邻两齿同侧齿廓沿法线的距离相等，即K₁K₁' = K₂K₂'，设m₁，m₂，α₁，α₂，pb₁，pb₂分别为两轮的模数、压力角和基圆齿距，则正确啮合条件为m₁cos α₁ = m₂cos α₂，即渐开线齿轮的正确啮合条件是两轮的模数和压力角必须分别相等。这样，一对齿轮的传动比可以表示为i = w1/w2 = d2/d1 = z2/z1。
4.5.2 正确安装条件
齿轮间隙。一对齿轮转动时，两轮的节圆做纯滚动，因此，一个齿轮节圆上的齿槽宽与另一个齿轮节圆上的齿厚之差称为齿轮间隙。在渐开线齿轮加工和传动中均要求无侧隙啮合。实际上，为了保证润滑，避免摩擦等，一般留有适当侧隙。此侧隙一般在制造时由齿轮的公差来保证，计算尺寸时仍按无侧隙计算。
标准安装。标准安装是按齿侧无间隙来设计其中心距尺寸的。若要保证无侧隙啮合，就要求分度圆与节圆重合，即分度圆和节圆直径相等，这样的安装称为标准安装，此时的中心距称为标准中心距。
非标准安装。实际中心距与标准中心距不相等的时候，节圆半径会发生变化，分度圆与节圆分离，称为非标准安装。
顶隙。顶隙的值为一齿轮的齿根高减去另一齿轮的齿顶高。可以避免一个齿轮的齿顶与另一个齿轮齿槽底部发生顶死现象，可以储存润滑油。
齿轮齿条啮合。齿轮的节圆与齿条的节线做纯滚动。不管是否为标准安装，齿轮与齿条啮合时齿轮的分度圆永远与节圆重合，啮合角恒等于压力角，但只有在标准安装时，齿条的分度线才与节线重合。
4.5.3 连续传动条件
同时啮合的轮齿对数必须有一对或一对以上，才能保证传动的连续进行。为了保证连续传动实际啮合线段的长度应该大于齿距。
4.6 渐开线齿廓的切齿原理
4.6.1 仿形法（成形法）
仿形法是在普通铣床上利用渐开线齿形的成形铣刀将齿坯齿槽部分的材料铣掉来切制齿形的一种加工方法。常用刀具有盘状铣刀和指状铣刀两种。
仿形法的优点是加工方法简单，不需要专用的机床，缺点是加工精度难以保证，生产效率低，因此，只适用于修配、单件生产即加工精度要求不高的齿轮。
4.6.2 展成法（范成法）
展成法是利用一对齿轮无侧隙啮合时两轮的齿廓互为包络线的原理加工齿形的一种加工方法。加工时，刀具与齿坯的运动就像是一对互相啮合的齿轮，最后刀具将齿坯切出渐开线齿廓，这种方法采用的刀具主要有插齿刀和滚刀，是目前轮齿切削加工的主要方法。
展成法加工的具体方法有很多，应用最多的有插齿加工和滚齿加工。
齿轮插刀切制齿轮。齿轮插刀实际上就是一个齿廓为刀刃的外齿轮，齿顶高出一部分，以便切出顶隙部分。插齿过程中，插刀沿齿坯轴线方向做上下往复切削运动，同时插刀和齿坯模仿一对齿轮的转动，以一定的角速比相对转动，直到切出全部轮齿。
齿条插刀切制齿轮。当齿轮插刀的齿数增至无穷多时，其基圆半径变为无穷大，插齿刀的齿廓成为直线。齿条插刀是一个齿廓为刀刃的齿条，其齿顶比标准齿条高，原理与齿轮插刀加工是一样的。
滚刀切制齿轮。滚齿加工是利用齿轮滚刀在滚齿机上加工齿轮。外形类似一个开了纵向沟槽而形成刀刃的螺杆，它的轴向剖面为齿条，齿廓为精确的直线齿廓，滚刀转动时就相当于齿条在移动，滚刀除旋转外，还沿齿坯的轴向逐渐移动，以便切出整个齿宽。滚齿加工的特点是滚刀连续切削，因此生产效率较高，但需要专用机床。
用展成法加工齿轮时，只要刀具与齿坯的模数和压力角相同，不管齿坯的齿数是多少，都可以用同一把刀具加工。
4.7 渐开线齿廓的根切现象、最少齿数及变位齿轮
4.7.1 渐开线齿廓的根切现象
用展成法加工齿轮时，若齿数过少，齿坯齿根附近的渐开线齿廓将被刀具的齿顶切去部分，这种现象称为根切。根切现象的发生是因为刀具的齿顶线与啮合线的交点超过理论啮合线的极限点。
4.7.2 最少齿数
根切现象的发生是因为实际啮合线段超过理论啮合线段。对于标准直齿圆柱齿轮，当压力角为20°，齿顶高系数为1时，最少齿数为17。
4.7.3 变位齿轮
当齿条插刀安装时，如果齿顶线超过极限点，切出来的齿轮会产生根切。为避免根切，齿条插刀的安装位置要远离齿坯中心一段距离，，使其齿顶线不再超过极限点，这时切出来的齿轮就不会发生根切，但此时齿条的分度线与齿轮的分度圆不再相切。这种改变刀具与齿坯的径向相对位置来加工齿轮的方法称为径向变位法，加工出来的非标准齿轮称为变位齿轮。
变位齿轮传动可以用来改变不发生根刀的最少齿数、提高齿轮的传动性能和承载能力、满足采用标准齿轮无法达到的某些中心距的要求等。加工变位齿轮时，齿轮的模数、压力角、齿数以及分度圆、基圆均与标准齿轮相同。
刀具移动的距离xm称为变位量，x称为变位系数。刀具远离齿坯中心的变位称为正变位，此时x>0称为正变位系数，靠近齿坯中心的变位称为负变位，标准齿轮就是变位系数x=0的齿轮。
展成法加工齿数少于最少齿数的齿轮时，为避免根切必须采用正变位齿轮。当刀具的齿顶线正好通过极限点N₁时，刀具移动量为最小，此时变位系数称为最小变位系数。当压力角为20°，齿顶高系数为1时，引入变位系数后不发生根切的条件是x大于等于(17-z)/17，z为齿数。
4.8 平行轴斜齿轮机构
4.8.1 斜齿圆柱齿轮齿廓的形成
斜齿轮齿廓曲面的形成方法与直齿轮相同，只不过直线不平行于母线而与它形成一个角度。方发生面沿基圆柱做纯滚动时，线上任一点的轨迹都是基圆柱的一条渐开线，而整个直线也展开出一个渐开线曲面，称为渐开线螺旋面。它在齿顶圆柱和基圆柱之间的部分构成了斜齿轮的齿廓曲面。渐开线螺旋面与基圆柱的交线是一条螺旋线，该螺旋线的切线与基圆柱母线的夹角称为基圆柱的螺旋角。
4.8.2 斜齿轮基本参数
与直齿轮不同，由于齿向是倾斜的，因此它的每一个基本参数都可以分为法面（垂直于分度圆柱面螺旋线的切线的平面）参数，端面参数。
法面模数和端面模数。Mn = Mt · cos β，其中β为分度圆柱的螺旋角，n是发面，t是端面
压力角。tan αn = tanαt · cosβ
齿顶高系数和顶隙系数。斜齿轮的齿顶高和齿根高不论从端面还是从法面来看都是相等的，即法面和端面h·m和c·m是相等的，因此Ht = Hn·cosβ，Ct = Cn·cosβ
螺旋角，螺旋线展开成一条斜直线，该直线与轴线的夹角称为分度圆柱上的螺旋角，简称螺旋角，有tan β = Πd/Ps，其中，Ps为螺旋线的导程，即螺旋线绕一周时沿齿轮轴方向前进的距离。因为斜齿轮上个个圆柱面的螺旋线的导程相等，所以基圆柱上的螺旋角βb应为tan βb = ΠDb/Ps，由以上两式得，tan βb = (Db/D)·tan β = tan β · cosαt。
斜齿轮的几何尺寸计算。斜齿轮的啮合在端面上相当于一对直齿圆柱齿轮的啮合，因此将斜齿轮端面参数带入直齿轮的计算公式，就可以得到斜齿轮的相应尺寸。
4.8.3 正确啮合条件和重合度
一对外啮合平行轴斜齿轮传动的正确啮合条件：两斜齿轮的法面模数相等；两斜齿轮的法面压力角相等；两斜齿轮的螺旋角大小相等，方向相反。
斜齿轮传动的重合度。斜齿轮传动的重合度要比直齿轮的大，当前端面开始脱离啮合时，后端面仍处在啮合区内，只有当后端脱离啮合时，这对齿才终止啮合。因此，斜齿轮的重合度为 ε = εt + (b·tanβ)/Pt。其中，εt为端面重合度，其值等于与斜齿轮端面齿廓相同的直齿轮传动的重合度。b为端面齿宽，Pt为端面齿距。
4.8.4 斜齿轮的当量齿数和最少齿数
当量齿数。斜齿轮在进行强度计算以及用仿形法加工选择刀具时，必须知道斜齿轮的法面齿形，但是精确求出法面齿形比较困难，通常采用近似方法，借助于当量齿轮来分析斜齿轮的法面齿形。以p为分度圆半径，斜齿轮法面模数Mn为模数，压力角αn为标准压力角，作一直齿圆柱齿轮，其齿形近似于斜齿轮的法面齿形，该直齿轮被称为斜齿圆柱齿轮的当量齿轮，其齿数被称为斜齿圆柱齿轮的当量齿数，用z₁表示，计算公式为z₁=(2Πp)/ΠMn=z/cos³β。
最少齿数。标准斜齿轮不发生根切的最少齿数可以由其当量直齿轮的最少齿数计算出来，即Zmin = 17·cos³β。
4.8.5 斜齿轮优缺点
与直齿圆柱齿轮相比斜齿轮有以下优点：齿廓接触线是斜线，一对齿是逐渐进入啮合和脱离啮合的，故运转平稳，噪声小；重合度大，并随齿宽和螺旋角的增大而增大，故承载能力高，适于高速传动；不发生根切的最小齿数小于直齿轮。
斜齿轮由于有螺旋角（设计时螺旋角一般取8°~20°），因此会产生轴向力，需要安装推力轴承克服轴向力。
4.9 锥齿轮机构
锥齿轮的轮齿分布在圆锥体上，因此它的轮齿一端大而另一端小，齿厚由大端到小端逐渐变小，模数和分度圆也随之变化。一对锥齿轮的运动可以看成是两个锥顶共点的圆锥体互做纯滚动，这两个锥顶共点的圆锥体就是节圆锥。此外，与圆柱齿轮相似，锥齿轮还有基圆锥、分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥，对于正确安装的标注锥齿轮传动，其节圆锥与分度圆锥应该重合。
4.9.1 背锥和当量齿数
背锥。锥齿轮转动时，其上任一点与锥顶O的距离保持不变，所以该点与另一锥齿轮的相对运动轨迹为一球面曲线。直齿锥齿轮的理论齿廓曲线为球面渐开线。因球面不能展开成平面，设计计算和制造都很困难。在锥齿轮大端与分度锥相切作一圆锥，此圆锥称为背锥。将球面上的轮齿向背锥投影，背锥投影出的齿高部分近似等于球面上的齿高部分，因此用背锥的齿形来代替大端球面上的理论齿形。与球面不同，背锥可以展开成平面。
当量齿数。将背锥展开成平面，形成扇形齿轮，将扇形齿轮补足为完整的圆柱齿轮，这个圆柱齿轮称为锥齿轮的当量齿轮，其齿数称为当量齿数，用Zv表示。Zv₁ = z₁/cos δ₁ , Zv₂ = z₂/cos δ₂。δ₁，δ₂分别是两扇形齿轮的分度圆锥角。显然，计算出来的当量齿数一般不是整数，但总是大于实际齿数。
4.9.2 锥齿轮传动比
两齿轮的分度圆锥角分别为δ₁和δ₂，大端分度圆半径为r₁和r₂，齿数分别为z₁和z₂，两齿轮传动比为i₁₂ = ω₁/ω₂ = sin δ₂/sin δ₁，当锥齿轮两轴垂直时，即轴交角为δ₁+δ₂=90°时，得i₁₂ = 1/tan δ₁ = tan δ₂。
4.9.3 标准直齿锥齿轮传动的几何尺寸
为了便于设计与制造，在进行直齿锥齿轮的几何计算时以大端为标准值，这是因为大端便于测量和计算。国际规定锥齿轮大端分度圆上的模数为标准值，压力角α=20°，齿顶高系数h=1，顶隙系数c=0.2。直齿圆锥齿轮的正确啮合条件可以从当量圆柱齿轮的正确啮合条件得到，即两齿轮的大端模数和压力角相等。