三阶行列式求解特征值与特征向量

Question

第一行，2 -1 2
第二行，5 -3 3
第三行，-1 0 -2

在实数域内

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
2-λ -1 2
5 -3-λ 3
-1 0 -2-λ 第2行加上第1行*(-3-λ)
=
2-λ -1 2
λ^2+λ-1 0 -3-2λ
-1 0 -2-λ 按第2列展开
=
(λ^2+λ-1)(-2-λ) -3-2λ
= -λ^3-3λ^2-3λ-1
= -(λ+1)^3=0
解得λ= -1
那么
A+E=
3 -1 2
5 -2 3
-1 0 -1 第2行减去第1行×2，第1行加上第3行×3
～
0 -1 -1
-1 0 -1
-1 0 -1 第3行减去第2行，第1行×(-1)，第2行×(-1)，交换第1和第2行
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,-1)^T