矩阵求值，求助学霸，能做多少做多少。要有过程，采纳分给分析得最详细的

Question

如题所述

Answer 1

第1题
矩阵A=
1 1
0 1

=单位矩阵I+B

其中矩阵B=
0 1
0 0

因此 Aⁿ=
(I+B)ⁿ=
Iⁿ+Cn¹Iⁿ⁻¹B+Cn²Iⁿ⁻²B²+⋯+Bⁿ（二项式定理展开） ①
由于B²=B，则Bⁿ=Bⁿ⁻¹=⋯=B²=B，而I的任意次幂显然等于I
则①式变成
I+Cn¹B+Cn²B+⋯+B
=I+(2ⁿ-1)B
=
1 0
0 1

+
0 2ⁿ-1
0 0
=
1 2ⁿ-1
0 1

第2题
矩阵A=
1 2
0 1

=单位矩阵I+2B

其中矩阵B=
0 1
0 0

因此 Aⁿ=
(I+2B)ⁿ=
Iⁿ+Cn¹Iⁿ⁻¹2B+Cn²Iⁿ⁻²2²B²+⋯+2ⁿBⁿ（二项式定理展开） ①
由于B²=B，则Bⁿ=Bⁿ⁻¹=⋯=B²=B，而I的任意次幂显然等于I
则①式变成
I+Cn¹2B+Cn²2²B+⋯+2ⁿB
=I+((1+2)ⁿ-1)B
=I+(3ⁿ-1)B
=
1 0
0 1

+
0 3ⁿ-1
0 0
=
1 3ⁿ-1
0 1

第3题

矩阵A=
λ 1 0
0 λ 1
0 0 λ
=λI+B

其中矩阵B=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
B²=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
B³=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
当n≥3时，显然Bⁿ=0矩阵

因此 Aⁿ=
(λI+B)ⁿ=
λⁿIⁿ+Cn¹λⁿ⁻¹Iⁿ⁻¹B+Cn²λⁿ⁻²Iⁿ⁻²B²+⋯+Bⁿ（二项式定理展开） ①
由于Bⁿ=Bⁿ⁻¹=⋯=B⁴=B³=0，而I的任意次幂显然等于I
则①式变成
λⁿI+Cn¹λⁿ⁻¹B+Cn²B²
=λⁿI+nλⁿ⁻¹B+B²n(n-1)/2
=
λⁿ 0 0
0 λⁿ 0
0 0 λⁿ

+nλⁿ⁻¹
0 1 0
0 0 1
0 0 0

+n(n-1)/2
0 0 1
0 0 0
0 0 0

=
λⁿ nλⁿ⁻¹ n(n-1)/2
0 λⁿ nλⁿ⁻¹
0 0 λⁿ

注意这是n≥2时的解。
如果n=1
那么
Aⁿ=A自身追问

谢谢，第一题，为什么B的二次方=B呢

追答

自己算一下，就明白了

追问

我算出来等于0矩

谢谢你，写了这么多

大体做的方法我知道了

在吗，我请教您个问题。有一行元素全为0的矩阵值为0吗

追答

不好意思，B²确实=0，我算错了，你把答案订正一下。

追问

哦，没事，我知道方法就行了

请问您一个问题， 在吗，我请教您个问题。有一行元素全为0的矩阵值为0吗

Answer 2

转换单位矩阵和数相乘