第四节 函数及其性质
王俊邦
[基本内容]
1、函数的定义
(1)传统定义:如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么把y叫做x的函数,x叫做自变量,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。y是x 的函数,可以记作y =f(x)(f表示对应法则)。
(2)近代定义:设A、B都是非空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么A到B的映射就叫做A到B的函数,记作y =f(x),其中。原象的集合A叫做函数f(x)的定义域,象的集合C叫做函数f(x)的值域,显然。
注意
①由函数的近代定义可知,函数是数集间的映射。
②对应法则f是联系x、y的纽带,是函数的核心,常用一个解析式表示,但在不少问题中,对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示,而是采用其他方式(如数表或图象等)。定义域(或原象集合)是自变量的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数,应看作是两个不同的函数。
③f(a)与f(x)的涵义是不同的,f(a)表示自变量x=a时所得的函数值,它是一个常量,而f(x)是x的函数,是表示对应关系的。
2、函数的性质
(1)函数的单调性
设y =f(x)是给定区间上的一个函数,是给定区间上的任意两个值,且,如果都有,则称f(x)在这个区间上是增函数(也称f(x)在这个区间上单调递增);如果都有,则称f(x)在这个区间上是减函数(也称f(x)在这个区间上单调递减)。
如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或减函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间。
(2)函数的奇偶性
①如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
②如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
奇函数的图象关于原点成中心对称图形;偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
3、反函数
(1)逆映射:设是集合A到集合B上的一一映射,如果对于B中的每一个元素b,使b在A的原象a和它对应;这样所得的映射叫做映射的逆映射,记作:。
注:映射也是映射的逆映射,而且 也是一一映射(从B到A上的一一映射)。
(2)如果确定函数y =f(x)的映射是f(x)的定义域A到值域B上的一一映射,那么这个映射的逆映射所确定的函数叫做函数y =f(x)的反函数。
函数y =f(x)的定义域、值域分别是函数的值域、定义域。
函数y =f(x)的反函数,习惯上写成。
一般地,求函数y =f(x)的反函数的方法是先由y =f(x)解出,然后把改写成。
函数y =f(x)和其反函数的图象关于直线y=x对称。
[例题分析]
例1、判断下列各题中的两个函数是否相同。
(1); (2);
(3);
(4)。
解:(1)不同。因为f(x)的定义域是x≠0且x≠-1,而g(x)的定义域是x≠-1,由于定义域不同,故f(x)和g(x)是不同的函数。
(2)不同。因为这两个函数的对应法则不同。
对应法则f :
对应法则g :。
(3)相同。因为这两个函数的定义域和对应法则都相同,
(4)不同,虽然这两个函数的解析式相同,但给出的定义域不同。
例2、求下列各函数的定义域:
(1);(2);(3)。
解:(1)由。 (2)全体实数。
(3)解不等式组,得0 < x < 1。
例3、(1)已知,求
(2)已知,求。
解:(1)∵,∴,
∵,
∴。
(2)。
例4、已知f(x)为一次函数,且f [f(x)] = 9x-1,求f(x)的解析式。
设,则,即,
∴,∴,
故所求函数为或。
例5、求下列函数的值域:(1);(2)。
解:(1)把看成是关于x的方程,整理得
,∵x,y是实数,∴当y=1时,x=0。当时,,故函数的值域是。
(2)
。故函数的值域是y ≤1。
注:配方法是二次函数求值域的主要方法。如果y = f(x)能化成关于x的一元二次方程,则常用根的判别式法求函数的值域。
例6、求函数的值域。
解:。因为,∴y的值域是。
例7、设f(x)为偶函数,f(x)在(0,+∞)内单调减少,求证f(x)在(-∞,0)内单调增加。
证明:设,则,∵,f(x)在(0,+∞)内单调减少,∴,∵f(x)为偶函数,∴。由于在(-∞,0)内的任意性,根据增函数的定义,可知f(x)在(-∞,0)内单调增加。
例8、判断下列函数的奇偶性:
(l)y=2x;(2)y=2x-3;(3);(4);
(5);(6);(7);(8);
(9);(10)。
解:偶函数:(3),(4),(5),(9); 奇函数:(1),(6),(7);
非奇非偶函数:(2),(8),(10)。
注:的定义域为x≠5的一切实数,所以其图象显然不关于原点或y轴对称。故f(x)为非奇非偶函数。
例9、函数f(x)的定义域为x≠0的一切实数,且满足,判断函数f(x)的奇偶性。
解:原等式中以代替x,得。解方程组:
,得f(x)=0,(x≠0)。所以f(x)既是奇函数, 又是偶函数。
例10、求函数的反函数及这个反函数的值域。
解:从解出x,得到,改写成。∵原来函数的定义域为x≥1,值域为y≥2,∴所求的反函数为:,(x≥2),这个反函数的值域为y≥1。
练习
1、选择题:
(1)下列各组函数中,为同一个函数的是( )。
(A)与y=x-2;(B)与y=x (a>0,a≠1);
(C)与;(D)与y=x-1。
(2)已知,那么f(2)的值是( )。
(A)e2;(B)2e;(C);(D)2。
(3)已知函数f(x)的定义域是[1,2],那么函数f(x2)的定义域是( )。
(A)[1,4];(B);(C);(D)。
(4)已知是偶函数,那么函数是( )。
(A)奇函数;(B)偶函数;(C)既不是奇函数,也不是偶函数;
(D)结论不确定。
(5)若是奇函数,则是( )。
(A) 奇函数;(B)非奇非偶函数;(C)偶函数;
(D)既是奇函数又是偶函数。
(6)偶函数f(x)在[0,4]上单调递增、则下列关系或说法正确的是( )。
(A);(B);(C);
(D)不能确定。
(7)下列哪一个函数是指定区间上的单调函数。
(A); (B);
(C); (D)。
(8)下列互为反函数的一组函数是( )。
(A); (B);
(C);(D)。
2、设函数f(x)满足条件:。
求证:(1)f(0)=0;(2)f(-1)=-a;
(3)为不等于0的整数)。
3、求函数的值域。
练习解答
1、(1)D;(2)C;(3)C;(4)A;(5)C;(6)C;(7)A;(8)D。
2、…① …②
(1)在①中,设x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴f(0)=0。
(2)由①得f(0)=f(1-1)=f(1)+ f(-1)。∴0=a+f(-1),
∴f(-1)=-a。
(3)当n>0时,(括号内为n个1的和)。
即,
当n<0时,-n>0,由于,,
∴。
注:在一般的函数问题中,常用0,±1等代入x和y等来证明等式。
参考资料:http://www.ja.edu.sh.cn/CenterWeb/mathematics/math/g1sx/J1798.htm