判断下列级数的敛散性 前面是求和公式（1—n）/n的平方

Question

n^3/3^n
3n/(1+n)^n
(-1)^n*n/2^n+1

Answer 1

先化为正项级数，设，原级数常数项为u。
用比较审敛法的极限形式（高等数学下，同济大学，第六版，p258），就是拿级数的常数项和1/n比较（加绝对值）lim|u/(1/n)|=lim |（1-n）/n|=lim 1 因为0<1<正无穷，又因为级数1/n是发散的。所以级数|u|不收敛。
根据级数的基本性质，如果级数的每个常数项乘以一个不为零的数，则收敛性不改变（高等数学下，同济大学，第六版，p251）。给|u|的每一项乘以-1就是u，则u发散。

Answer 2

设un=(n-1)/n^2，n>1
则un是正项级数，用比阶判敛法
由于lim n * un=lim n * (n-1)/n^2=lim (n-1)/n=lim(1-1/n)=1 (lim下面有n趋于无穷)
所以un发散
(1-n)/n^2每项都与un相差个符号，所以也发散追问

如果用un/u(n+1)要怎么做

追答

本题中lim un/u(n+1)=1,所以比值判敛法失效
换句话说这道题不能用这种方式证明

追问

比阶判敛法是怎样定义的

追答

对正项级数un
(1)若存在p>1,使得lim n^p *un=c(c小于无穷)，则收敛
(2)若存在p0),则发散

追问

p要怎么找

追答

就看分子分母的最高次项
p一般等于分母最高次项减分子最高次项
如果式子比较复杂不好找,就说明不适合用这种方法

追问

能不能看看其余三题

追答

这3题很简单,都可以用比值法lim u(n+1)/un来做
n^3/3^n
lim u(n+1)/un=1/3 <1 所以收敛
3n/(1+n)^n
lim u(n+1)/un=0<1 所以收敛
(-1)^n*n/2^n+1
lim |u(n+1)/un|=1/2 所以绝对收敛，也收敛

追问

第二个为什么等于零，求具体解法

追答

3n/(1+n)^n
lim u(n+1)/un
=lim [3(n+1)/(2+n)^(1+n)]/[3n/(1+n)^n]
=lim [(n+1)/n]*[(1+n)^n/(2+n)^(n+1)]
=lim (1+1/n)*1/n*1/[(2+n)/(1+n)]^(n+1)
=lim (1+1/n)*1/n*1/[1+1/(1+n)]^(n+1)
= 1*0*1/e=0

追问

3n/(1+n)^n
lim u(n+1)/un
=lim [3(n+1)/(2+n)^(1+n)]/[3n/(1+n)^n]
=lim [(n+1)/n]*[(1+n)^n/(2+n)^(n+1)]
=lim (1+1/n)*1/n*1/[(2+n)/(1+n)]^(n+1) （两 除吗）
=lim (1+1/n)*1/n*1/[1+1/(1+n)]^(n+1)
= 1*0*1/e=0

追答

什么叫"两除"
你对这步有什么疑问?

追问

3n/(1+n)^n
lim u(n+1)/un
=lim [3(n+1)/(2+n)^(1+n)]/[3n/(1+n)^n]
=lim [(n+1)/n]*[(1+n)^n/(2+n)^(n+1)]
=lim (1+1/n)*1/n*1/[(2+n)/(1+n)]^(n+1) （1/n是怎么来的，不是只有指数相等时，两式才能一起相除吗）
=lim (1+1/n)*1/n*1/[1+1/(1+n)]^(n+1)
= 1*0*1/e=0

追答

我写错了,应该是1/(n+1)

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