为什么要选择在0处展开呢？按理说每个函数都是在一个区间上存在的。
追答在哪里展开要看你需要研究的区域，比如这个函数的奇点是x=1，收敛半径是展开点到 x=1 的距离，选择在何处展开时，你要保证你关心的区域全部在收敛区域内。当然，x=0是最简单的，如果在0点已经满足了需要，那就没必要展开成一个比较复杂的级数了
追问我就想是不是每个函数都可以写成多项式相加的无穷级数这个问题，但是发现有些函数只能在一些区间里面写成无穷级数，那假如想在函数的整个定义域上都写成无穷级数，那应该怎么操作呢？然后就看到了在某个点上展开，我觉得函数在整个定义域上要是都能写成无穷级数，那要在某个点上展开干什么呢？麻烦您了。
追答并不是所有函数都能在整个定义域内展开成幂级数的，有些函数在实轴上有奇点，就会有一个收敛半径。如y=e^x，在R上有定义，他的收敛半径是R，在整个实轴上可以写成无穷级数。但1/(1-x)，他在x=1无定义，是奇点，有收敛半径，只有在展开点为中心，到展开点距离小于收敛半径的点才呢用无穷级数表示。
如果有多个奇点，收敛半径是展开点到最近奇点的距离
太谢谢您了，那如果我遇到一个函数，我把他的奇点挑出来，那么我就能用幂级数来表示其余的间断的函数了？就是我可以一个分段的无穷级数来完整刻画这个函数？
追答不是。比如 1/(1-x) ，你在x=无穷就不能展成幂级数。因为你的展开点到x=1的距离总是有限的。总有一个收敛半径。
但学了复变函数的洛朗级数你会知道，如果展式中包含x的负无穷次幂到正无穷次幂，则 x=正负无穷 也是可以用级数表示的。但好像不是叫泰勒级数了，泰勒级数只是包含x的0次幂到正无穷次幂。至于洛朗级数是不是幂级数，忘了。
假如不考虑正负无穷这两个极端的例子，就是在坐标轴上，能不能用分段幂级数来刻画函数呢？从奇点出断开。变复函数还没接触过呢。。您能不能加下我QQ：165281435？谢谢啦？
本回答被提问者采纳但是您看例子中的函数，两边是对称的，为什么对面的不能展成无穷级数？或者能不能加上绝对值什么的，再用无穷级数表示？也就是一个函数能不能用不同的无穷级数组合起来表示？或者说所有函数都是一个和式？
追答“为什么对面的不能展成无穷级数？”，对面指什么？
哦，你是说为什么双曲线中只有一支能被表示么？
就是指这个函数的另一支。这个函数不是关于-1对称的吗？但是只有右半支的一部分收敛。那左半支呢？
追答函数关于（1，0）点对称，现在表示的是左半支。如果想表示右半支的对称部分，用级数
西格玛（x-2）^n表示，这个级数收敛半径是（1，3）
也就是说通过调整级数，可以把一个特定的函数完全用无穷级数表示出来？
追答每个级数都有自己的收敛半径，只要收敛半径是无穷，就可以表示出来。
追问那函数在某个点展开是什么意思？
追答通常指泰勒级数，f（x）在x0点展开就是f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+1/2!*f''(x0)*(x-x0)^2+……
追问在某个点展开的意义是什么？是那个点的函数值不好算？所以要用展开之后用多项式来算？
追答基本上是，有时候一个函数难以分析，我们就用他的泰勒展开，展开到比如2，3项，来近似原来不好处理的函数。