高效学习概率论之(公式与性质)如下:
一、概率论的基本概念
事件的运算律:
交换律:A∪B=B∪AA\cupB=B\cupAA\cupB=B\cupAAB=BAAB=BAAB=BA
结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)(A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A\capB)\capC=A\cap(B\capC)(A\capB)\capC=A\cap(B\capC)
分配律:(AUB)C=(AC)U(BC)(AUB)C=(AC)U(BC)(AUB)C=(AC)U(BC)
AU(BC)=(AUB)(AUC)AU(BC)=(AUB)(AUC)AU(BC)=(AUB)(AUC)
摩根律:A∪B¯=A¯∩B¯\bar{A\cupB}=\bar{A}\cap\bar{B}\bar{A\cupB}=\bar{A}\cap\bar{B}
A∩B¯=A¯∪B¯\bar{A\capB}=\bar{A}\cup\bar{B}\bar{A\capB}=\bar{A}\cup\bar{B}
减法运算:A−B=AB¯A-B=A\bar{B}A-B=A\bar{B}
条件概率:
若P(B|A)=P(AB)P(A)(若P(A)>0)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}(若P(A)>0)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}(若P(A)>0)
若P(A|B)=P(AB)P(B)(若P(B)>0)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}(若P(B)>0)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}(若P(B)>0)
乘法法则:
若P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)>0)P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)>0)P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)>0)
若P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)>0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)>0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)>0)
P(A1A2…An)=P(A1)P((A2|(A1)×P((A3|(A1A2)…P((An|(A1…(An−1)P({A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}})=P({A_{1}})P(({A_{2}}|({A_{1}})\timesP(({A_{3}}|({A_{1}}{A_{2}})…P(({A_{n}}|({A_{1}}…({A_{n-1}})P({A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}})=P({A_{1}})P(({A_{2}}|({A_{1}})\timesP(({A_{3}}|({A_{1}}{A_{2}})…P(({A_{n}}|({A_{1}}…({A_{n-1}})
全概率公式:
若事件A1A_{1}A_{1},A2A_{2}A_{2},…构成一个完备事件组,且都具有正概率,则对任何一个事件B,有
P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)P(B)=\sum_{}P(A_{i})P(B|A_{i})P(B)=\sum_{}P(A_{i})P(B|A_{i})
贝叶斯公式:
若A,A2,…构成一个完备事件组,且均具有正概率,则对任何一个概率不为零的事件B,有
P(Am|B)=P(Am)P(B|Am)∑iP(Ai)P(B|Ai)P(A_{m}|B)=\frac{P(A_{m})P(B|A_{m})}{\sum_{i}P(A_{i})P(B|A_{i})}P(A_{m}|B)=\frac{P(A_{m})P(B|A_{m})}{\sum_{i}P(A_{i})P(B|A_{i})}
事件独立性结论:
事件与独立事件A与B独立⇒P(AB)=P(A)P(B)事件A与B独立\RightarrowP(AB)=P(A)P(B)事件A与B独立\RightarrowP(AB)=P(A)P(B)
若事件与独立则与与与中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立,则A与B¯,A¯与B,A¯与B¯中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立,则A与\bar{B},\bar{A}与B,\bar{A}与\bar{B}中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立,则A与\bar{B},\bar{A}与B,\bar{A}与\bar{B}中的每一对事件都相互独立
若事件相互独立则若事件A1,An相互独立,则P(A1…An)=∏i=1nP(Ai)若事件A_{1},A_{n}相互独立,则P(A_{1}…A_{n})=\prod_{i=1}^{n}P(A_{i})若事件A_{1},A_{n}相互独立,则P(A_{1}…A_{n})=\prod_{i=1}^{n}P(A_{i})
若事件相互独立则若事件A1,An相互独立,则P(∑i=1nAi)=1−∏i=1nP(Ai)若事件A_{1},A_{n}相互独立,则P(\sum_{i=1}^{n}{A_{i}})=1-\prod_{i=1}^{n}P(A_{i})若事件A_{1},A_{n}相互独立,则P(\sum_{i=1}^{n}{A_{i}})=1-\prod_{i=1}^{n}P(A_{i})
伯努利定理:
设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),则n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率P_{n}(k)为
其中Pn(k)=CnkPKqn−k(k=0,1,…,n)其中q=1−pP_{n}(k)=C_{n}^{k}P^{K}q^{n-k}(k=0,1,…,n)其中q=1-pP_{n}(k)=C_{n}^{k}P^{K}q^{n-k}(k=0,1,…,n)其中q=1-p。