通解中的任意一个,就是特解。如果通解已经求出,将参数用任意一个数代入,可以求得一个特解。
通解没有求出,将(未知数-方程数(或秩))个数的未知数,任意指定一个数,求出其他未知数的解,就能得到一个一组特解。
本题,4未知数,3方程,4-3=1,可以令x1=0
代入得:
-5x2+2x3+3x4=11
x2-4x3-2x4=-6
-9x2+3x4=15
三个方程,三个未知数,一般都可以求出来。
简介
xj表未知量,aij称 系数,bi称 常数项。
称为 系数矩阵和 增广矩阵。若x1=c1,x2=c2,…,xn=cn代入所给方程各式均成立,则称(c1,c2,…,cn)为一个解。若c1,c2,…,cn不全为0,则称(c1,c2,…,cn)为非 零解。若 常数项均为0,则称为 齐次线性方程组,它总有零解(0,0,…,0)。两个方程组,若它们的未知量个数相同且解集相等,则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是:①一个方程组何时有解。②有解方程组解的个数。③对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解,则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r,则r=n时,有唯一解;r消元法求解。
当 非齐次线性方程组有解时,解唯一的 充要条件是对应的齐次线性方程组只有 零解;解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的 导出组仅有零解和有非零解时,不一定原方程组有唯一解或无穷解,事实上,此时方程组不一定有 ,即不一定有解。
克莱姆法则(见 行列式)给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一 齐次方程组的解集均构成n维空间的一个 子空间。
线性方程组有广泛应用,熟知的线性规划问题即讨论对解有一定 约束条件的线性方程组问题。