第1个回答 2023-12-15
有这么一个定理：
∫(0→π) xf(sinx) dx = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx
证明：令x = π - y、dx = - dy
I = ∫(0→π) xf(sinx) dx
= ∫(π→0) (π - y)f[sin(π - y)] (- dy)
= π∫(0→π) f(siny) dy - ∫(0→π) yf(siny) dy
= π∫(0→π) f(sinx) dx - I
2I = π∫(0→π) f(sinx) dx
I = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx
所以对于你这题，可令x = π - z、dx = - dz
I = ∫(0→π) x√(cos²x)sinx dx
= ∫(π→0) (π - z)√(cos²z)sin(π - z) (- dz)
= ∫(0→π) π√(cos²x)sinx dx - I
2I = ∫(0→π) π√(cos²x)sinx dx
I = (π/2)∫(0→π) √(cos²x)sinx dx