广义积分的敛散性

Question

如题所述

Answer 1

问题一：讨论反常积分的敛散性 答：
我前几天回答过类似题目，不过那个更深一些。
zhidao.baidu/question/202061499
作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时，上式=ln(lnx)+C，当x->贰+∞发散；
当k≠1时，不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k+∞时发散。
当k>1时，limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
即当k1时收敛。

问题二：这个题怎么做，关于高数的。 反常积分（后面的截图），当k为何值时，该反常积分的取值最小？ 答：
作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时，上式=ln(lnx)+C发散
当k≠1时，不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k1时，limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
设函数f(k)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)，f'(k)=[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2
当f'(k)=0时，[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2=0
即(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)=0
(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)=(ln2)^(1-k)
(1-k)ln(ln2)=1
k=1-1/ln(ln2)
因为0=ln11。
当k>1-1/ln(ln2)时，f'(k)>0，当1 问题三：判断下列广义积分的敛散性（有步骤） 3个广义积分都是收敛的

（1）（2）结果为1

（3）结果为2

过程如下图：

问题四：广义积分的敛散性

问题五：广义积分敛散性

问题六：求解广义积分的敛散性，要详细过程。 因此，收敛