求这4道微积分题填空题答案

Question

向左转|向右转

Answer 1

解：
（1）原式=
lim
1/(1+sinx/x)
（
必须注意x->∞时|sinx|≤1，故sinx/x->0）
x->∞
=1/(1+0)=0
（2）原式=
lim
[1+(-2)/x]^[x/(-2)*(-2)]
x->∞
=e^(-2)
（3）应该是求n->0时的极限吧（此时为0/0型，否则直接代入得√n/n）：
lim
[√(x+n)-√x]/n=
（分子有理化）
n->0
lim
[√(x+n)-√x]*[√(x+n)+√x]/{n*[√(x+n)+√x]}=
n->0
lim
[(x+n)-x]/{n*[√(x+n)+√x]}=
n->0
lim
1/[√(x+n)+√x]
n->0
=1/[2√x]
（4）x->0时，由于cosx=1-x²/2+o(x²)，故
1-cosx=x²/2+o(x²)，因此是比x高阶的无穷小。