已知一条直线y，一个点A， 找到直线上的一点使其到点A有最短距离。

Question

直线方程为 2x-3y=6, 点A坐标为 （5,0）， 求直线上的最接近点A（5,0）的点
用微积分解题， 需要过程。。谢谢

Answer 1

最短距离就是通过该点向直线做垂线，垂足就是最短距离的点。
解:与题中直线方程垂直的直线的斜率为-3/2(两直线垂直，且都存在斜率时k1×k2=-1)
设此直线方程为y=-3/2x+b
把A点坐标代入得
0=-15/2+b
b=15/2
所以直线方程为
y=-3/2x+15/2,即3x+2y-15=0
联立2x-3y=6得
x=57/13,y=12/13
所以原直线上最接近A点的点为(57/13,12/13)追问

请问能用微积分的方法做出来吗？ 谢谢

Answer 2

解法一：直线 2x-3y=6上到点A距离最近的点就是：过点A作直线垂直于直线2x-3y=6的垂足
显然所作直线方程为y=-3/2（x-5）即3x+2y-15=0
解由两条直线方程所组成的方程组得
x=57/13，y=12/13
即所求点为（57/13，12/13）
解法二：设点P(x,y)为直线2x-3y=6上的点,S=|AP|²
则S=|AP|²=(x-5)²+y²
=(x-5)²+(2/3x-2)²
=13/9x²-38/3x+29
S'=26/9x-38/3
令S'=0
则x=57/13
显然x<57/13时S'<0,x>57/13时S'>0
故当x=57/13时，S取得最大值，即|AP|取得最大值。
将x=57/13带入直线方程得y=12/13
故所求点为（57/13，12/13）追问

请问能用微积分的方法做出来吗？ 谢谢

追答

用微积分的方法求解，简直是杀鸡用了宰牛刀！

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Answer 3

过A点做一条与已知直线的垂直线，两个方程联立求解即得B（3/11，,20/3）追问

谢谢， 可以用微积分的方法求吗？

Answer 4

(57/13,12/13)追问

能用微积分的方法解题吗？

追答

可以，写出直线上的任意一点P的坐标为（3t,2t-2)，微积分求PA的最小值时 t的取值, 带回P的坐标即可

追问

能详细一点吗？ 没看懂， 谢谢啊