第1个回答 2013-10-16
在高中代数课本中我们会遇到许多有关极限的问题，对于这些问题同学们都会做，但问一问什么叫极限，怎样理解，就会有许多同学感到很模糊，理解不清楚，从而导致了对某些题型的错误解答．如：
只要n＞N，就恒有|an－1|＜ε，
故此数列有极限，而且极限为1．
例2 数列{(－1)n}有无极限？有则求之．
解 对于an＝(－1)n，当n为偶数时an＝1，当n为奇数时an＝1，给定任意小的正数ε．
∵|an－1|＝|1－1|＝0＜ε，(当n为偶数时)
|an－(－1)|＝|－1－(－1)|＝0＜ε，(当n为奇数时)
∴此数列有极限，且：
例3 数列{nV}有无极限？有则求之．
解 数列{nV}为：1V，2V，3V，……nV……给定任意小的正数ε．
∵an＝nV，∴|an－nV|＝|nV－nV|＝0，
∴恒有|an－nV|＝0＜ε，故此数列有极限，且极限为nV．
让我们先回忆一下数列极限的定义：“一般地，对于无穷数列，如果存在一个常数A，对于预先指定的任何正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得在这一项后面的所有的项与A的差的绝对值都小于ε(即当n＞N时，|an－A|＜ε恒成立)，就将常数A叫做数列{an}的极限．”注意到定义中加“•”的“无穷”、“一个”、“常数”，你就可以较快地判断出以上三个问题的解法均不正确，例1中的数列不是无穷数列；例2中的数列虽为无穷数列，但一个无穷数列根本不可能有两个极限；例3中求得的极限nV根本不是常数．所以正确回答都是“此数列无极限”．对于无穷数列的极限来说：“无穷数列”、“一个”、“常数”三个条件缺一不可，否则，所求得的极限均不正确．
以上的三个小例子，是否有助于你对数列极限定义