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矩阵a和b秩相同一定等价吗
两个矩阵都线性无关,说明
秩
均为n,由此就可得到两个
矩阵等价吗
?
答:
如果两个矩阵的阶数相同并且
秩相同
,那么这两个
矩阵等价
,因为它们的相抵标准型相同。楼上属于误导,相抵变换不是相似变换,根本没有行列式不变性,一般初等矩阵的行列式也不是1,比如前两类初等变换的行列式都不是1。补充:对任何
矩阵A
,存在可逆阵P和Q使得PAQ= I 0 0 0 这个就是相抵标准型。
设A、B为m×n
矩阵
,证明
A与B等价
的充要条件为R(A)=R(B)
答:
证明:(必要性)设
A与B等价
,则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的
矩阵
,而 初等变换不改变矩阵的
秩
,所以R(A)=R(B)。(充分性)设R(A)=R(B),则A、B的标准型都为Er ,即A、B都与Er 等价,从而A与B等价。
为何同解方程组
与秩
的平等有着密切联系?
答:
当一个
矩阵A的秩
等于它的列数或行数时,这意味着这个矩阵有着显著的结构,它的行向量或列向量组成了一个独立的集合。假设我们有一个方程组,其系数
矩阵B
的秩r,如果r等于它的列数n,那么我们可以推断B的每一列都能通过其他列线性组合得到,这就意味着B的列向量组成了一个基础解系,即有n个线性...
合同
矩阵
的
秩相等吗
答:
矩阵的
秩
是矩阵的一个重要属性,它表示矩阵中非零子式的最高阶数。对于任何矩阵,其秩都不会超过其行数或列数。因此,如果两个矩阵合同,那么它们的秩必然
相等
。合同矩阵,在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。两个
矩阵A和B
是合同的,存在可逆矩阵 C,使得CTAC=B,则称方阵...
线性代数中为什么要研究
秩
答:
当一个
矩阵A的秩
等于它的列数或行数时,这意味着这个矩阵有着显著的结构,它的行向量或列向量组成了一个独立的集合。假设我们有一个方程组,其系数
矩阵B
的秩r,如果r等于它的列数n,那么我们可以推断B的每一列都能通过其他列线性组合得到,这就意味着B的列向量组成了一个基础解系,即有n个线性...
矩阵A和B等价
,它们的行列式
一定相等吗
?
答:
不
一定相等
。n阶的两个
等价矩阵A
,B,它们的行列式差一个非零的常数倍,不一定相等。由A,
B等价
,则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ=B 两边取行列式得 |P||A||Q|=|B| 令 k=|P||Q|,则k≠0,且 |B|=k|A|。
为什么两个向量组
等价
,则两个向量组的
秩相等
答:
而向量组的秩
就
是和他对应的矩阵的秩。所以两个向量组等价时他们对应矩阵的
秩相等
。向量组等价,是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然,两个向量组的
秩相同
,是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。而两个
矩阵等价
,只能推出这...
矩阵和
的
秩
小于秩的
和吗
?
答:
矩阵和的
秩
小于等于秩的和,这句话是对的。矩阵的秩定义为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的个数。如果两个
矩阵A和B
的秩分别为r(A)和r(B),那么它们的和A+B的秩r(A+B)满足:r(A+B)≤r(A)+r(B)。证明这个不等式,我们可以考虑将矩阵A和B的行向量或列向量分别进行线性...
若同为n阶的A,
B
两个
矩阵等价
,它们的行列式
相等吗
答:
不
一定相等
。n阶的两个
等价矩阵A
,B,它们的行列式差一个非零的常数倍,不一定相等。由A,
B等价
,则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ=B 两边取行列式得 |P||A||Q|=|B| 令 k=|P||Q|,则k≠0,且 |B|=k|A|。
为什么
等价矩阵
具有
相同
的
秩
答:
矩阵等价
是指 A 可经初等变换化为B 而初等变换不改变矩阵的秩 所以
等价矩阵
的
秩相等
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