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正定矩阵的迹和特征值的关系
一个
矩阵的特征值
为什么会有模?它的模如何计算
答:
A的所有
特征值的
全体,叫做A的谱,记为λ(A)。
矩阵的
特征值
和特征
向量可以揭示线性变换的深层特性。n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量x∈R∧n,对应的二次型Q(x)=x∧T·Ax 若Q>0,就称A为
正定矩阵
。若Q<0,则A是一个
负定矩阵
,若Q≥0,则A为半正定矩阵,若A既非半正定,也...
线性代数中为什么
正定矩阵的
主对角线上的元素都大于0?
答:
X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0,就称M正定(Positive Definite).正定矩阵在相合变换下可化为标准型, 即单位矩阵.所有
特征值
大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵.另一种定义:一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
正定矩阵的
一些判别方法 由...
若n阶方阵的
特征值
全大于零,则A是
正定矩阵
。这句话对吗?为什么
答:
不对,
正定矩阵
除了全部
特征值
大于0外 还要满足A的转置等于A
Mercer定理是什么
答:
1. 正定性可以通过
矩阵的特征值
来判断,所有特征值必须都是正数。实际上,每个正定矩阵都能通过相似变换转化为对角矩阵,其对角线上元素均为正。2.
正定矩阵与
内积形式紧密相关,它定义了Cn空间上的标准内积。所有这样的内积都可以由某个正定矩阵通过特定方式构造。3. 如果M是n个线性无关向量的Gram矩阵...
如果A是n阶
正定矩阵
,但题没说是对称矩阵,我能认为它的
特征值
都大于零...
答:
对!
正定矩阵
属于二次型矩阵,二次型矩阵必是对称矩阵!根据正定性的定义,如果正定,其
特征值
必全大于零。
二次型
正定的
充分必要条件
答:
二次型
正定
的判别方法:写出它的矩阵,根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型的正定性。对于给定的二次型,先将化为标准型,然后根据标准型中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。通过正交变换,将二次型化为标准型后,标准型中平方项的系数就是二次型
矩阵的特征值
...
矩阵
分析与应用(一,矩阵基础知识)
答:
1.2 矩阵的性能指标:实对称矩阵或Hermite矩阵的二次型,刻画
矩阵的正定
性;方阵的行列式,刻画矩阵的奇异性;方阵的特征值,刻画矩阵的奇异性、正定性和对角元素之和;方阵
的迹
,等于特征值之和;秩,刻画矩阵的奇异性,行秩等于列秩;奇异值,[公式] 的
特征值的
正平方根,刻画矩阵的奇异性。1.3 ...
书上说
正定
二次型的定义是这样的。。又说它的
矩阵的
秩等于n。可是这个...
答:
【评注】
正定的矩阵
【充分必要条件】:1、正定 ←→矩阵A
特征值
均大于0 2、正定 ←→矩阵A顺序主子式大于0 正定的矩阵【必要条件】:1、aij>0 2、|A|>0 要理解什么是正定,通过相似对角阵来分析 矩阵A的秩r(A)=n,意思为0不是A的特征值。首先二次型f(x1,x2,...,xn)=xTAx,通过正交...
如何证明n阶矩阵A即是正交矩阵又是
正定矩阵
当且仅当A为单位矩阵
答:
简单计算一下,答案如图所示
正定矩阵的特征
向量有什么性质
答:
正定矩阵的
特征值都是正数,属于不同
特征值的
特征向量之间是正交的。
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