A、B都是n阶实对称半正定矩阵,证明,如果tr(AB)=0,则AB=0.答:A是实对称半正定矩阵,则存在实正交阵Q和对角阵D使得A=Q*D*Q^T,不妨设D=diag(D_1,0),其中D_1正定 AB=QDQ^TB=QDCQ^T,其中C=Q^TBQ也是半正定的 既然tr(AB)=tr(DC)=0,那么C当中与D_1对应的行列均为0,可得CD=0,所以AB=0
设A,B是nxn实对称矩阵,A正定.请证明:AB可对角化.答:A正定,则A=CC,且C正定.(设A=T'DT,T正交,D对角全正,D=FF,F对角全正,A=T'FFT=T'FTT'FT=CC,记C=T'FT.)AB=CC逆ABCC逆,相似于C逆ABC=CBC对称,故可对角化.