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柯西中值定理经典例题
请教
柯西中值定理的
证明
答:
柯西(Cauchy)中值定理是微分
中值定理的
三大定理之一,它比罗尔(Rolle)定理与拉格朗日(Lagrange)中值定理更具一般性。也具有更广泛的应用性,但大多高等数学的教材中仅介绍了
柯西中值定理
及其证明,对该定理的应用涉及较少,不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。下面介绍一下利用柯西中值定理在求极...
柯西中值定理
是什么?
答:
在柯西中值定理中,若取g(x)=x时,则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此,拉格朗日中值定理为
柯西中值定理的
一个特例;反之,柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。几何意义:若令u=f(x),v=g(x),这个形式可理解为参数方程,而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连...
柯西中值定理
?
答:
积分中值定理表达式为:f(x)dx=f(ξ)(b-a)(a≤ξ≤b)。若函数f(x)在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点ξ,使上式成立。
中值定理的
主要作用在于理论分析和证明;同时由
柯西中值定理
还可导出一个求极限的洛必达法则。积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用,下面我们给出...
柯西中值定理的
推导过程?
答:
所以 e^x>ex。
柯西中值定理的
证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一...
柯西定理中值定理
答:
柯西定理
中值定理如下:如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么弧段上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弧AB。拉格判扰御朗日中值定理,也简称中值定理,是罗尔
中值定理的
更一般的形式,同时也是柯掘岩西中值定理的特殊情形。一、推导中值公式:要点 Cauchy 中值定理 : ...
如何运用
柯西中值定理
?
答:
b)可导,证明有c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c)。证:参考Cauchy
中值定理的
标准形式,令g(x)=x^2即可。注意这里b>a>0保证了g’(x)=2x≠0以及b^2-a^2≠0。上面这道题当然非常简单(就是直接套公式)。它还可以通过构造函数F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[...
柯西中值定理
答:
根据
柯西中值定理
,存在m∈(a,b),及n∈(a,b)①f'(m)/g'(m)=[f(b)-f(a)]/(b-a)f(b)-f(a)=f'(m)(b-a)②f'(n)/h'(n)=[f(b)-f(a)]/(e^b-e^a)f(b)-f(a)=f'(n)(e^b-e^a)/e^n 所以,f'(m)(b-a)=f'(n)(e^b-e^a)/e^n 即f'(m)/f'...
这个第二题怎么解
的
,
柯西中值定理
答:
F(x) = x+cosx, F'(x) = 1-sinx 在区间 [0, π/2] 上,
柯西
公式 :[sin(π/2)-sin0]/[π/2+cos(π/2)-(0+cos0)] = cosξ/(1-sinξ)即 2/(π-2) = cosξ/(1-sinξ), 2(1-sinξ) = (π-2)cosξ,2[cos(ξ/2)-sin(ξ/2)]^2 = (π-2){[cos(...
柯西中值定理
怎么证明?
答:
柯西中值定理的
证明与解释 为了更好地理解柯西中值定理,我们可以从几何和代数的角度进行解释。首先,从几何角度来看,可以将[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]看作是函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均变化率,而f'(c)/g'(c)则是函数f(x)在开区间(a,b)上某一点c的瞬时变化率(即导数)。...
柯西中值定理
答:
柯西
(Cauchy)
中值定理
:设函数f(m)g(m)满足 ⑴在闭区间[a,b]上连续;⑵在开区间(a,b)内可导;⑶对任意的m属于(a,b),g'(m)≠0 那么在(a,b)内至少有一点y属于(a,b),使得f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)= f'(y) - g'(y)成 立 推论:如果函数 在区间 上的导数 ...
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