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勒贝格可积函数有界吗
勒贝格积分
的可积性条件是什么?
答:
任何一个可积函数一定是有界的
,但是需要注意的是,有界函数不一定可积。可以统一处理函数有界与无界的情形,函数也可以定义在更一般的点集上,更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此,勒贝格积分的应用领域更加广泛,特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。给定集合X及其上的...
有界测度集上的
勒贝格可积函数
几乎处处
有界吗
?
答:
不一定,考虑 ∫_[0,1] log x dx, 但是可以证明被
积函数
几乎处处有限。设 F_n = {x∈Ω : |f(x)| ≥ n} 则 ∫ |f| ≥ n·m(F_n)故 m(F_n) ≤ ∫ |f| / n 因而 m {x∈Ω : f(x) = ±∞} = m (∩F_n) ≤ m(F_n) ≤ ∫ |f| / n (→0, as n→...
为什么
勒贝格积分
可积?
答:
可积函数的函数可积的充分条件:1、函数有界
;2、在该区间上连续;3、有有限个间断点。函数可以定义在点集上,更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理,因此,勒贝格积分的应用领域更加广泛。
高数 狄利克雷
函数
为什么D(△x)天生就是
有界
的 如图
答:
因为D(x)≤1,
有界
有界函数
一定
勒贝格可积吗
答:
不是一定的。有界函数并不一定是勒贝格可积的
。勒贝格可积是指函数在整个实数轴上都有定义,并且在每个有限区间上都能被积分,即存在一个有限的积分值。而有界函数仅仅是指函数的绝对值在整个实数轴上有上界或下界,但并不一定在每个区间内都能被积分。
黎曼积分的局限性和
勒贝格积分
的优越性
答:
这一点点差别,使得
勒贝格积分
具有一些黎曼积分所没有的良好性质。勒贝格积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的,这一理论可以统一处理
函数有界
与无界的情形,而且被积函数也可以定义在更一般的点集上。黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性是
可积函数
的连续性。黎曼积分的局限性表现在黎曼可积函数太少...
可积
一定
有界吗
?
答:
设f(x)在区间[a,b]上单调
有界
,则f(x)在[a,b]上可积。
可积函数
是存在积分的函数。除非特别指明,一般积分是指
勒贝格积分
;否则,称函数为黎曼可积等。给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度,实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。令为f的"...
函数可积
的条件
答:
可积函数
一定是
有界
的,可积是有界的充要条件,有界是可积的必要不充分条件。比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数,它处处不连续,处处极限不存在,是一个处处不连续的可测函数。设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点...
无界
函数勒贝格可积吗
答:
;或者既没有上界又没有下界,称f(x)在定义域上无界,在定义域无界的函数称为无界函数。函数的
有界
性与函数自变量x的取值范围有关,如:y=x,在R内无界,但在任何有限区间内都有界。因此无界
函数勒贝格
不可积。测函数不一定是
勒贝格可积
的。这是因为可测函数的积分不存在或者为无穷大。
高等数学,连续/
可积
/
有界
/三者的关系
答:
所以不一定连续。
函数
在某一点连续也必定意味着函数在该点附近的任意一个有定义的去心邻域内
有界
,反过来不一定,即有界不一定连续。函数在某个区间内连续则必定在该区间上
可积
,但反过来不一定,例如著名的黎曼函数,在[0,1]上的所有有理点(除了0)都不连续,但它确是可积的。
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